Question

设L为抛物线y=2x2-1上由点A(-1,1)到点B(1,1)的一段定向弧,求∫L(x-y)dx+(x+y)

Answer 1

问：设L为抛物线y=2x2-1上由点A(-1,1)到点B(1,1)的一段定向弧,求∫L(x-y)dx+(x+y)

答：设L为抛物线y=2x2-1上由点A(-1,1)到点B(1,1)的一段定向弧,求∫L(x-y)dx+(x+y)：首先，我们需要找到定向弧L的参数方程。由题目所给的点A(-1,1)和点B(1,1)可以确定对称轴为y=1的抛物线y=2x^2-1的两个交点，它们的横坐标分别为-1和1，因此对称轴上的点的横坐标范围是[-1,1]。因为抛物线关于y轴对称，所以我们可以将抛物线的参数方程写成x=t，y=2t^2-1的形式。为了确定定向弧L的参数方程，我们需要知道起点和终点的参数值。根据题目所给的点A(-1,1)和点B(1,1)，我们可以得到起点的参数值为-1，终点的参数值为1。因此，定向弧L的参数方程为：x = t，y = 2t^2 - 1，-1 ≤ t ≤ 1接下来，我们可以将被积函数化为关于t的表达式：(x - y)dx + (x + y)dy = (t - (2t^2 - 1))dt + (t + 2t^2 - 1)dt= (-2t^2 + t + t + 2t^2 - 1)dt = (2t - 1)dt

答：因此，原问题可以化为求解定向弧L上被积函数(2t - 1)dt的积分：∫L(x - y)dx + (x + y)dy = ∫[-1,1](2t - 1)dt = [t^2 - t] [-1,1] = 0因此，原问题的解为0。

问：设L为抛物线y=2x2-1上由点A(-1，1)到点B(1，1)的一段定向弧，求∫(x-y)dx+(x+y)dy/x2+y2

问：设L为抛物线y=2x2-1上由点A(-1，1)到点B(1，1)的一段定向弧，求∫【(x-y)dx+(x+y)dy】/x2+y2

答：首先，我们需要找到定向弧L的参数方程。由题目所给的点A(-1,1)和点B(1,1)可以确定对称轴为y=1的抛物线y=2x^2-1的两个交点，它们的横坐标分别为-1和1，因此对称轴上的点的横坐标范围是[-1,1]。因为抛物线关于y轴对称，所以我们可以将抛物线的参数方程写成x=t，y=2t^2-1的形式。为了确定定向弧L的参数方程，我们需要知道起点和终点的参数值。根据题目所给的点A(-1,1)和点B(1,1)，我们可以得到起点的参数值为-1，终点的参数值为1。因此，定向弧L的参数方程为：x = t，y = 2t^2 - 1，-1 ≤ t ≤ 1接下来，我们可以将被积函数化为关于t的表达式：(x - y)dx + (x + y)dy/x^2+y^2 = [(t - (2t^2 - 1))dt + (t + 2t^2 - 1)dt]/(t^2 + (2t^2 - 1)^2)= [(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1)接下来，我们需要对该式进行积分。由于被积函数较为复杂，不方便直接求解，因此我们可以考虑使用其他方法。

答：接下来，我们需要对该式进行积分。由于被积函数较为复杂，不方便直接求解，因此我们可以考虑使用其他方法。注意到被积函数中分母的形式与(t^2 + 1)^2 - 2t^2的形式很相似，因此我们可以尝试将分母表示成一个平方差的形式。令u = t^2 + 1，那么：4t^4 - 4t^2 + 1 = 4u^2 - 8u + 5 = (2u - 1)^2 + 4因此，原式可以表示为：[(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1) = [(-4t^3 + 3t)dt]/[(2t^2 - 1)^2 + 2]接下来，我们可以进行变量代换，令：u = 2t^2 - 1，du/dt = 4t将u代入原式中，得到：[(-4t^3 + 3t)dt]/[(2t^2 - 1)^2 + 2] = [(-2/4)du]/[u^2 + 2] = (-1/2)arctan(u/√2) + C其中，C为积分常数。代回t的表达式，得到：[(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1) = (-1/2)arctan[(2t^2 - 2)/√

问：然后呢

答：接下来，我们可以将被积函数化为关于t的表达式：(x - y)dx + (x + y)dy/x^2+y^2 = [(t - (2t^2 - 1))dt + (t + 2t^2 - 1)dt]/(t^2 + (2t^2 - 1)^2)= [(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1)接下来，我们需要对该式进行积分。由于被积函数较为复杂，不方便直接求解，因此我们可以考虑使用其他方法。注意到被积函数中分母的形式与(t^2 + 1)^2 - 2t^2的形式很相似，因此我们可以尝试将分母表示成一个平方差的形式。令u = t^2 + 1，那么：4t^4 - 4t^2 + 1 = 4u^2 - 8u + 5 = (2u - 1)^2 + 4因此，原式可以表示为：[(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1) = [(-4t^3 + 3t)dt]/[(2t^2 - 1)^2 + 2]接下来，我们可以进行变量代换，令：u = 2t^2 - 1，du/dt = 4t将u代入原式中，得到：[(-4t^3 + 3t)dt

答：将u代入原式中，得到：[(-4t^3 + 3t)dt]/[(2t^2 - 1)^2 + 2] = [(-2/4)du]/[u^2 + 2] = (-1/2)arctan(u/√2) + C其中，C为积分常数。代回t的表达式，得到：[(-4t^3 + 3t)dt]/(4t^4 - 4t^2 + 1) = (-1/2)arctan[(2t^2 - 2)/√2] + C因此，原问题的解为：∫L(x - y)dx + (x + y)dy/x^2+y^2 = (-1/2)arctan[(2t^2 - 2)/√2] + C其中，C为积分常数。

问：有没有简洁做法

答：首先，求出抛物线上定向弧L的参数方程：设弧L上任意一点的坐标为(x, y)，则有：x = t，y = 2t^2 - 1，其中t∈[-1, 1]。然后，将题目中的积分式化为极坐标形式：(x - y)dx + (x + y)dy = [(rcosθ - rsinθ)(cosθdx + sinθdy) + (rcosθ + rsinθ)(sinθdx - cosθdy)] / r^2= (cos2θ + sin2θ)dt = dt因此，原式可以简化为：∫【(x-y)dx+(x+y)dy】/x2+y2 = ∫L dt = L 的弧长长度由于弧L的参数方程为x = t，y = 2t^2 - 1，因此可以利用弧长公式求解弧长长度：L = ∫[-1,1] sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt= ∫[-1,1] sqrt(1 + 8t^2) dt= (1/4) [sqrt(9+8x^2) + 3ln|2x+sqrt(9+8x^2)|] 从-1到1= 1/2 + (3/4)ln(3+2√2)因此，原式的值为1/2 + (3/4)ln(3+2√2)

问：L = ∫[-1,1] sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt里的sqrt是什么意思？

答：在数学中，"√"符号代表开平方根的运算。因此，L = ∫[-1,1] sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt中的sqrt表示求根号下的值，即求出(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2的平方根。这个式子是计算平面曲线的弧长，其中x和y是参数t的函数，dx/dt和dy/dt是x和y对t的导数。