Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,BD⊥BC,点E为BC延长线上的一动点，且满足CE＋BD=4,以AD、AE为邻边作正方形ADFE,边DF交BC于点G,则CG的最小值为

Answer 1

问：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,BD⊥BC,点E为BC延长线上的一动点，且满足CE＋BD=4,以AD、AE为邻边作正方形ADFE,边DF交BC于点G,则CG的最小值为

答：你好，CG的最小值为2。根据勾股定理可得，AB=√(AC²+BC²)=4√2，因此BD=CD=2√2。由题意可知CE=4-BD=4-2√2，设AE=x，则CE=4-2√2-x。连接DE、AF交BC于点H、I，分别设BH=a，CI=b，则有HI=4-a-b。注意到AH=AG=DF，因此AH=DF=x+2√2-a，AG=x+2√2-b。又因为ADFE是正方形，所以HI=AG-AF=x+2√2-b-x=2√2-b。根据三角形不等式，有CI+BG≥CG，即b+a+x+2√2-a≥CG，也就是x+2√2+b≥CG。又因为CE+BD=4，所以a+b=4-2√2-x，代入上式得x+6√2-4≥CG。当且仅当DE平行于AB时取等号，此时CG=2。因此CG的最小值为2。

答：1. 如何证明当且仅当DE平行于AB时取等号？首先，注意到△ABD与△CED全等，因为它们有共边BD，∠DBA=∠EBC=90°，AB=BC，以及∠BAD=∠CEB（这是因为∠BAD=∠BAF+∠FAD=45°+∠ECD=∠CEB）。因此，我们有AD=CE=4-2√2-x。接下来，考虑△AGI和△HDI。它们有共边ID，且HI=AG-AF=DF=x+2√2-a-x=x+2√2-b。又有AI=HD=AD-AH=4-2√2-x-(x+2√2-a)=2√2-a-b，DI=GI=BC-BG=4-CG。根据相似三角形的性质，我们有AG/AI=DI/HI,即(x+2√2-b)/(2√2-a-b)=(4-CG)/(x+2√2-b).化简得CG=x+6√2-4(2√2-a-b)/(x+2√2-b),即CG=(2√2-a-b)+(x+6√2-4)/(x+2√2-b).由于a+b=4-2√2-x>0，所以2√2-a-b(x+2√2-b)>1。因此，CG的最小值为2√2-a-b，当且仅当x+2√2-b=4-CG时取等号，也就是DE平行于AB时取等号。2. 为什么要设AE=x？设AE=y也可以，但会使后面的计算稍微麻烦一些。设AE=x的原因是为了使AH和AG的表达式更简洁。注意到AH=DF=x+2√2-a和AG=x+2√2-b，它们都包含了AE=x这个条件。如果设AE=y，则需要分别计算AH=y+2√2-a和AG=y+2√2-b，稍微复杂一些。

问：为什么BD＝CD＝2倍根号2啊

答：AB=√(AC²+BC²)=4√2，因此BD=CD=2√2

答：根据勾股定理可得