Question

一元三次方程解法

Answer 1

一元三次方程
一元三次方程（英文：cubic equation with one unknown）是只含有1个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。系数分别为1和6，对应的完全立方式的一次项系数和常数项分别为12和8，所以在方程两边加上11x+8，得到x3+6x2+12x+8=11x+18即(x+2)3=11x+18，右边的11x+18可以表示成11x+22-4=11(x+2)-4
(x+2)3=11(x+2)-4，这和二次方程很不一样。二次方程配方后只有左边有x，可以两边开平方求解。三次方程配方后，方程的两边都有x，所以无法直接开立方求解，我们必须要寻找新方法解出x+2的值才行（这个所谓的新方法就是卡丹公式法）。
一元三次方程，一元三次方程（英文：cubic equation with one unknown）是只含有1个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。中文名：一元三次方程，外文名：cubic equation with one unknown，类型：整式方程/多项式方程
标准形式：ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），解法：卡尔丹公式法/因式分解法/未知数与常数互组。
一元二次方程
通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。一元三次方程（英文：cubic equation with one unknown）是只含有1个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3次的整式方程。一元三次方程的标准形式是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数是二的整式方程。其一般式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零；当a=0时，c、e至少一项不等于零，当c=0时，a、d至少一项不为0
未知数与常数互易法
配方法
我们知道，对于任意一个n次多项式，我们总可以只借助最高次项和（n-1）次项，根据二项式定理，凑出完全n次方项，其结果除了完全n次方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项、二次项、三次项等，直到（n-2）次项。由于二次以上的多项式，在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。于是，对于二次以上的多项式方程，我们无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式，然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。
特别地，对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。一个自然的想法就是利用配方法将一般的三次方程化为不带二次项的三次方程。
配方法与换元法的等价性
对于一元n次方程，配方法和换元法是等价的。[2]
在一元二次方程中，用x=y-b/2a换元能消去方程中的一次项，只剩下二次项和常数项，所以配方法能解所有的一元二次方程。
但在一元三次方程中，用x=y-b/3a换元不一定能同时消去二次项和一次项，只留下三次项和常数项，所以配方法只能直接求解一部分一元三次方程。可用配方法直接求解的三次方程，满足下面形式的方程可以直接通过配立方来求解，两边除以a，把常数项移到右边，然后再在两边加上，开立方可以开出三个根出来，所以x也有三个解。
这类方程用x=y-b/3a换元，可同时消去二次项和一次项，即不能用方法直接求解的三次方程，对于不能用配方法直接求解的一元三次方程，配方法只能消去方程的二次项。配方是根据三次项系数和二次项系数来配的。
例如x3+6x2+x=10这个方程，三次项和二次项的系数分别为1和6，对应的完全立方式的一次项系数和常数项分别为12和8，所以在方程两边加上11x+8，得到x3+6x2+12x+8=11x+18即(x+2)3=11x+18
右边的11x+18可以表示成11x+22-4=11(x+2)-4
(x+2)3=11(x+2)-4
这和二次方程很不一样。二次方程配方后只有左边有x，可以两边开平方求解。三次方程配方后，方程的两边都有x，所以无法直接开立方求解，我们必须要寻找新方法解出x+2的值才行（这个所谓的新方法就是卡丹公式法）。
令y=x+2，于是得到了消去二次项的方程（即x=y-2，其实就是x=y-b/3a），y3=11y-4，y3-11y+4=0，接下来就可以利用卡丹公式来求解这个新方程。这个方程和x=y-b/3a换元法得到的方程是一样的。
通过卡丹公式求出3个y值后，我们就得到了x+2的值：x+2≈0.36817，x+2≈3.11718和x+2≈-3.48535（由于△<0，求解过程中需要用到虚数，但最终计算出来是3个实数）
这样，原方程的解x就求出来了：-1.63183、1.11718和-5.48535