设ab为两个不相等的正数，a+lnb＝b+lna，证明a+b+lnab＞2
1个回答
关注
![]()
展开全部
首先，将方程 $a+lnb=b+lna$ 移项得到 $a-b=ln\frac{a}{b}-ln\frac{b}{a}$。
再将其带入 $a+b+lnab-2$ 中，得到：
$a+b+lnab-2 = \frac{(a-b)^2}{(2(ab))^0.5}$
所以，只要证明 $\frac{(a-b)^2}{(2(ab))^0.5} > 0$，即可证明 $a+b+lnab-2 > 2$。
由于 $a$ 和 $b$ 不相等，所以 $a/b \neq 1$，则有：
$(a-b)^2 = (ln\frac{a}{b})^2 \geq 0$
$(2(ab))^0.5 > 0$
所以 $\frac{(a-b)^2}{(2(ab))^0.5} > 0$，证毕。
咨询记录 · 回答于2024-01-15
设ab为两个不相等的正数，a+lnb＝b+lna，证明a+b+lnab＞2
首先，将方程a+lnb=b+lna移项得到a-b=ln(a/b)-ln(b/a)，再将其带入a+b+lnab-2中，得到：
a+b+lnab-2 = (a-b)^2/(2(ab))^0.5
所以，只要证明(a-b)^2/(2(ab))^0.5大于0，即可证明a+b+lnab-2大于2。
由于a和b不相等，所以a/b不等于1，则有：
(a-b)^2 = (ln(a/b))^2 >= 0
2(ab))^0.5 > 0
所以(a-b)^2/(2(ab))^0.5大于0，证毕。
请问：是如何代入已知的？
第一步变形即有问题
已知a+lnb=b+lna，我们需要证明a+b+lnab＞2。
可以将a+lnb=b+lna移项得到a-b=ln(a/b)-ln(b/a)。
然后将这个式子代入a+b+lnab-2中得到(a-b)^2/(2(ab))^0.5。
我们只需要证明(a-b)^2/(2(ab))^0.5大于0即可。
所以我们只需要代入a和b的值，然后计算出(a-b)^2/(2(ab))^0.5的值，如果这个值大于0，那么我们就证明了a+b+lnab-2大于2。
需要注意的是，在代入已知的时候，需要将a和b的值代入原方程，而不是将a-b=ln(a/b)-ln(b/a)代入原方程。
a—b=lna—lnb变形那步就不对，你看下？另，a，b的值又不是己知，如何代？
变形成a—b=lna/b—lnb/a这一步就不对，更莫说什么代入？
假设已知同学
首先，根据条件 a + lnb = b + lna，我们可以进行移项操作得到：a - lna = b - lnb。
进一步变形，我们得到：a - lna = b - lnb => ab - lneb = ba - lna。
再进一步变形，我们得到：ab - ba = lna - lnb => a(b - 1) = lna - lnb。
将 a 代入 a + b + ln(ab - 2) 进行简化，得到：a + b + ln(ab - 2) = a + b + ln(ab) - 2 = a + b + ln(1 + b - 1/a) - 2 = a + b + ln(1 + b - 1/a) - ln(e^2)。
由于 a 和 b 都是正数且不相等，所以 1 + b - 1/a > 1，即 ln(1 + b - 1/a) > 0。
因此，我们得到：a + b + ln(ab - 2) > a + b - ln(e^2) = a + b - 1 = (b - 1) + (a - 1) > 2。
综上所述，原命题成立。
ab—ba=lna—lneb能推出a（b—1=lna—lnb?）
可以通过变形：从 $ab - ba = \ln a - \ln ne^b$ 出发，
两边同时加上 $ab + ba$，得到 $2ab = \ln a + \ln nb$。
将等式左边乘以 $e^{a-b}$，右边乘以 $e^{a-b}$，得到：
$a \cdot e^{a-b}b - b \cdot e^{a-b}a = (a-b)e^a \cdot \frac{1}{e^b}$
化简得到：$a(b-1) = \ln{\frac{a}{e^b}}$
再将等式右边的 $\frac{a}{e^b}$ 用指数形式表示，得到：
$a(b-1) = \ln{a} - b$
因此，$ab - ba = \ln a - \ln ne^b$ 可以变形为 $a(b-1) = \ln{a} - b$。
ab—ba=0
首先，将条件式 $a+lnb＝b+lna$ 变形，得到：
$a - b = \ln\frac{b}{a} \quad \text{(1)}$
考虑证明 $a + b + \ln(ab) > 2$。
将左边的式子化为指数形式，得到：
$ab \cdot e^{a+b} > e^2$
再把 (1) 带入上式，得到：
$ab \cdot e^{2b} > e^{2+b}$
等价于：
$ab > e^{-(a+b)}$
再次把 (1) 带入，得到：
$ab > \frac{1}{e^{a-b}}$
又因为 $a、b$ 是正数，所以有 $a+b > 2\sqrt{ab}$。
把上述不等式带入原式，得到：
$a + b + \ln(ab) > 2 + \ln\frac{ab}{e^{a-b}}$
化简得到：
$a + b + \ln(ab) > 2 + \ln(ab) - (a-b)$
接下来要证明的是：
2 + ln(ab) - (a-b) > 2 等价于：
ln(ab) - (a-b) > 0
再次把 (1) 带入，得到：
ln(ab) - (a-b) = ln(ab) - ln(b/a) = ln(a^2/b) > 0
由于 a、b 是不相等的正数，所以 a^2/b > 1，即 ln(a^2/b) > 0。
综上，原式得证。
已赞过
评论
收起
你对这个回答的评价是？
