Question

设函数 f(x)=ln(x-1)+ 2a x (a∈R) （1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果当 x＞1，且x≠2时

设函数 f(x)=ln(x-1)+ 2a x (a∈R) （1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果当 x＞1，且x≠2时， ln(x-1) x-2 ＞ a x 恒成立，则求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（1，+∞）， f′(x)= 1 x-1 - 2a x 2 = x 2 -2ax+2a x 2 (x-1) ， 设g（x）=x 2 -2ax+2a，△=4a 2 -8a=4a（a-2）， ①当△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0， ∴f ′ （x）≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增． ②当a＜0时，g（x）的对称轴为x=a，当x＞1时，由二次函数的单调性可知g（x）＞g（1）＞0， ∴f ′ （x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增． ③当a＞2时，设x 1 ，x 2 （x 1 ＜x 2 ）是方程x 2 -2ax+2a=0的两个根，则 x 1 =a- a 2 -2a ＞1， x 2 =a+ a 2 -2a ， 当1＜x＜x 1 或x＞x 2 时，f ′ （x）＞0，f（x）在（1，x 1 ），（x 2 ，+∞）上是增函数． 当x 1 ＜x＜x 2 时，f ′ （x）＜0，f（x）在（x 1 ，x 2 ）上是减函数． 综上可知：当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；           当a＞2时，f（x）的单调增区间为（1，x 2 ），（x 2 ，+∞），单调递减区间为（x 1 ，x 2 ）． （2） ln(x-1) x-2 ＞ a x 可化为 1 x-2 [ln(x-1)+ 2a x -a]＞0 ，即 1 x-2 [f(x)-a]＞0 ，（*） 令h（x）=f（x）-a，由（1）知： ①当a≤2时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）在（1，+∞）是增函数． 因为当1＜x＜2时，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立； 当x＞2时，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立； 所以当a≤2时，（*）成立 ②当a＞2时，因为f（x）在（x 1 ，2）上是减函数，所以h（x）在（x 1 ，2）上是减函数，所以当x 1 ＜x＜2时，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立． 综上可知，a的取值范围为（-∞，2]．