为什么zdxdy的曲面积分为0,∑是柱面x方+y方=a方(0≤z≤1)部分外侧

1个回答

心理咨询师1258

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要 ∑是柱面x^2+y^2=1被平面z=0和z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧,

图就是圆柱在x≥0, y≥0, 0≤z≤3 的四分之一圆柱部分, 则

∫∫ zdxdy+xdydz+ydzdx

=∫∫ xdydz+∫∫ydzdx

=∫dz∫√(1-y^2)dy+∫dz∫√(1-x^2)dx

=2∫dz∫√(1-u^2)du (令u=sint)

=6∫(cost)^2dt

=3∫(1+cos2t)dt

=3[t+(sin2t)/2]=3π/2。

咨询记录 · 回答于2021-05-08

为什么zdxdy的曲面积分为0,∑是柱面x方+y方=a方(0≤z≤1)部分外侧

∑是柱面x^2+y^2=1被平面z=0和z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧,图就是圆柱在x≥0, y≥0, 0≤z≤3 的四分之一圆柱部分, 则∫∫ zdxdy+xdydz+ydzdx=∫∫ xdydz+∫∫ydzdx=∫dz∫√(1-y^2)dy+∫dz∫√(1-x^2)dx=2∫dz∫√(1-u^2)du (令u=sint)=6∫(cost)^2dt=3∫(1+cos2t)dt=3[t+(sin2t)/2]=3π/2。

希望我的回答对您有帮助

其实它原题是这样的，其中标准答案为B

是的，这个是正确的。

能给我解释下这四个答案吗

具体您想问什么问题呢？

就是请您解释一下为什么第二个的积分为零

第一个是对坐标的曲面积分,dxdy=dScosγ=0,即曲面在xoy平面投影为零,所以积分值为0第二个是对面积的曲面积分,因为x^2+y^2=1,所以被积函数化简为1,此时,就是圆柱体的侧面积,即为2π*1*1=2π,所以第二个积分值是2π.区别就在于：dxdy就是指dS在xoy平面的投影分量；而dS则必须在投影不为零时,才能投,如果投影到xoy面,那么会出现dS=dxdy/cosγ,而cosγ=0,又因为分母不能为零,所以,它不能投到xoy平面.

已赞过

评论收起