Question

Q(√2)是否形成有理数域的一个线性空间

Answer 1

问：Q(√2)是否形成有理数域的一个线性空间

答：您好；要推导出√2不是有理数，证明如下，我们知道任意的一个有理数都可以用Q{m/n，m,n∈N，n≠0}来表示。现在我们假设√2是可以用m/n来表示的，m和n无相同的公因数。那么推倒如下：√2=m/n首先假设：√2=m/n两边同时平方后：m²=2n²--->由这个等式我们可以得出m是有2这个因数的将等式两边同除以四：(m/2)²=n²/2令m/2等于k：n²=2k²--->这里我们又可以得出n同样是存在2这个因数的经过以上的推导，我们可以发现m和n都存在2这个公因数，而这很显然与我们的假设相矛盾，因此假设无法成立，√2无法归入有理数的范畴，所以只能是无理数啦

答：相关资料:1.假设〖√2〗^√2是有理数，则意味着〖√2〗的〖√2〗次幂是有理数，〖√2〗是无理数，则命题为真命题2.假如〖√2〗^√2是无理数，〖√2〗也是无理数又因为〖（〖√2〗√2）〗√2=2（2为有理数）

问：Q(√2)=a＋b√2

答：相关资料:Q(根号2）是Q的单代数扩域，因为根号2是Q[x]上不可约多项式f(x)=x^2-2的一个根,所以Q(根号2）≌Q[x]/(x^2-2)，后者每个元可唯一表成a+bx(a,b∈Q)的形式，故Q(根号2）每个元也能唯一表成a+b√2(a,b∈Q)的形式

答：相关资料:首先验证群的四个条件所以构成群对吧接着证明是个域 就是证明加减乘除的封闭性吧任意的a1+b1√2 和 a2+b2√2(a1+b1√2)+(a2+b2√2)=(a1+a2)+(b1+b2)√2 加法封闭(a1+b1√2)(a2+b2√2)=[a1a2+2b1b2]+[a1b2+b1a2]√2 乘法封闭1/a1+b1√2=(a1-b1√2)/[a1^2-2b1^2] 倒数封闭 那么就乘法封闭了-(a1+b1√2)=(-a1)+(-b1)√2 有负元 那么就减法封闭了