Question

设a1,a2,…,am, B1,B2,…,Bm(m>1)为两个n维向量组,且满足β1=a1-a2,B2=a2-a3,…,Bm-1=a(m-1) - am, Bm = am - a1.证明:β1,β2,…,βm线性相关

Answer 1

问：设a1,a2,…,am, B1,B2,…,Bm(m>1)为两个n维向量组,且满足β1=a1-a2,B2=a2-a3,…,Bm-1=a(m-1) - am, Bm = am - a1.证明:β1,β2,…,βm线性相关

答：亲，证明: 必要性.由定理知:若向量组A可由向量组B线性表示, 则 r(A)<=r(B)因为两个向量组等价, 则可以互相线性表示所以, 既有 r(a1,a2,...,am)<=r(b1,b2,...,bm)又有 r(b1,b2,...,bm)<=r(a1,a2,...,am)故 r(a1,a2,...,am)=r(b1,b2,...,bm).充分性.由已知 a1,a2...am可以由b1,b2...bm线性表示所以 r(a1,a2...am,b1,b2...bm)=r(b1,b2...bm)又因为 r(a1,a2,...,am)=r(b1,b2,...,bm)所以 r(a1,a2...am,b1,b2...bm) = r(a1,a2,...,am)所以 b1,b2...bm可由a1,a2...am线性表示.所以两个向量组等价哦！嘿嘿

答：好的，稍等