Question

已知:矩形ABCD中,AB=4,AD=3,E为AB的中点，F为BD上的动点,连接AF，EF.分别作FG⊥EF交BC所在直线于点G，FH⊥AF交Dc于点H，求四也形BGHD周长的最小值？

Answer 1

问：已知:矩形ABCD中,AB=4,AD=3,E为AB的中点，F为BD上的动点,连接AF，EF.分别作FG⊥EF交BC所在直线于点G，FH⊥AF交Dc于点H，求四也形BGHD周长的最小值？

答：我们可以根据题意画出如下的图示：

答：令 $GK=x$，则 $CK=4-x$，$FG=\frac{4-x}{2}$。

答：由于 $FG \perp EF$，且 $EF=\frac{AB}{2}=2$，因此 $FG^2+EF^2=EG^2$，即 $\left(\frac{4-x}{2}\right)^2+4=x^2$，解得 $x=1$ 或 $x=3$。

答：当 $x=1$ 时，$BG=3$，$GH=1$，$HD=4$，四边形 $BGHD$ 的周长为 $3+1+4+5=13$。

答：当 $x=3$ 时，$BG=1$，$GH=3$，$HD=2\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}$，四边形 $BGHD$ 的周长为 $1+3+2\sqrt{13}+5=9+2\sqrt{13}$。

答：因此，四边形 $BGHD$ 的周长的最小值为 $9+2\sqrt{13}$。

问：能用初等数学解答么

答：首先，我们可以利用勾股定理求出矩形的对角线 $BD$ 的长度为 $5$。

答：首先，我们可以利用勾股定理求出矩形的对角线 $BD$ 的长度为 $5$。设 $BC=x$，则 $CD=5-x$。由于 $\triangle AFE$ 中 $AE=2$，$EF=\frac{1}{2}AB=2$，因此 $AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{8}$。同样地，$\triangle AFG$ 中 $AG=\frac{1}{2}AF=\sqrt{2}$，由于 $AFG$ 是直角三角形，因此 $FG=\sqrt{AF^2-AG^2}=2\sqrt{2}$。注意到 $AF$ 垂直于 $BD$，因此 $\triangle AFG\sim\triangle BDG$，所以 $\frac{FG}{BD}=\frac{AG}{GD}$，即 $\frac{2\sqrt{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{GD}$，从而 $GD=\frac{5}{2}$。设 $HD=y$，则 $DC=5-x=y+3$。在 $\triangle AHD$ 中，$AH=\sqrt{AD^2+HD^2}=\sqrt{y^2+9}$，$AD=3$，$HD=y$，因此 $\sin\angle AHD=\frac{y}{\sqrt{y^2+9}}$。在 $\triangle BGC$ 中，$BG=\sqrt{BC^2+GC^2}=\sqrt{x^2+(5-GD)^2}=\sqrt{x^2+\frac{9}{4}}$，$BC=x$，$GC=GD=\frac{5}{2}$，因此 $\sin\angle BGC=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{x^2+\frac{9}{4}}}$。由正弦定理可得