Question

若x=1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx,则f(1)的取值范围为什么

Answer 1

问：若x=1是函数f(x)=x^3+ax^2+bx,则f(1)的取值范围为什么

问：x＝1是函数的极大值点

答：您好！根据题意，当x=1时，函数f(x)=x^3+ax^2+bx的取值为f(1)=1^3+a(1)^2+b(1)=1+a+b。因此，我们需要找到a和b的取值范围，才能确定f(1)的取值范围。首先，我们考虑a的取值范围。由于函数f(x)是一个三次函数，因此它的导函数f'(x)是一个二次函数。根据导函数的性质，当导函数的二次项系数大于0时，函数f(x)在该点处取得局部最小值；当导函数的二次项系数小于0时，函数f(x)在该点处取得局部最大值。因此，为了使f(x)在x=1处取得最小值，我们需要让f'(1)=0，即：f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0化简可得：2a + b = -3这是a和b的一个约束条件。另外，我们还需要考虑函数f(x)的凸性。如果函数f(x)是凸函数，那么它在x=1处取得的值就是全局最小值；如果函数f(x)是凹函数，那么它在x=1处取得的值就是全局最大值。根据函数f(x)的定义，我们可以得到：f''(x) = 6x + 2a因此，当x=1时，f''(1) = 6 + 2a。如果f''(1)>0，那么函数f(x)在x=1处是凸的；如果f''

答：如果f''(1) 0 或者 a > -3这是a的另一个约束条件。综合上述两个约束条件，我们得到：-3 < a < ∞接下来，我们考虑b的取值范围。由于我们已经确定了a的取值范围，因此我们可以将2a + b = -3转化为b = -3 - 2a。因此，b的取值范围为：-∞ < b < ∞综合上述两个约束条件，我们得到：-∞ < b < ∞因此，f(1)的取值范围为：-∞ < f(1) < ∞总结一下，当x=1时，函数f(x)=x^3+ax^2+bx的取值范围为负无穷到正无穷。

问：怎么证明x（e＾x＋1）＞（x＋1）lnx＋1

答：您好，这是一道比较经典的不等式证明题目。下面我将为您详细解答。首先，我们可以将不等式中的e和ln用它们的定义式表示出来，得到：x(e^x + 1) > (x + 1)lnx + 1化简得：xe^x + x > xlnx + lnx + 1接下来，我们需要证明的是：xe^x > xlnx + lnx我们可以对右边的式子进行化简，得到：xlnx + lnx = ln(x^x)因此，我们需要证明的是：xe^x > ln(x^x)接下来，我们可以对两边同时取对数，得到：ln(xe^x) > ln(x^x)化简得：lnx + x > xlnx接下来，我们需要证明的是：lnx > 1 - x + ln(1 + x)我们可以对右边的式子进行泰勒展开，得到：ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...因此，右边的式子可以表示为：1 - x + ln(1 + x) = 1 - x + x - x^2/2 + x^3/3 - ...化简得：1 - x + ln(1 + x) = 1 - x^2/2 + x^3/3 - ...接下来，我们需要证明的是：lnx > 1 - x^2/2 + x^3/3 - ...我们可以对右边的式子进行求导，得到：d/dx(1 - x^2/2 + x^3/3 - ...) = -x + x^2令其等于0，得到：x = 0, x = 1因此，右边的式子在x∈(0,1]时单调递减，在x∈[1,+∞)时单调递增。接下来，我们只需要证明x∈(0,1]时，左边的式子大于右边的式子即可。当x=0时，不等式显然成立。当x∈(0,1]时，我们可以对左边的式子进行求导，得到：d/dx(xe^x) = xe^x + e^x令其等于0，得到：x = -1因此，左边的式子在x∈(0,1]时单调递增。又因为当x=1时，左右两边的值相等，因此在x∈(0,1]时，左边的式子大于右边的式子。综上所述，我们证明了原不等式成立。希望我的回答能够帮助您，如有疑问请随时追问。

问：谢谢老师