Question

PC是三角形PAB的内角平分线,AC=3,BC=1,则三角形PAB点面积最大是多少

Answer 1

问：PC是三角形PAB的内角平分线,AC=3,BC=1,则三角形PAB点面积最大是多少

答：首先，我们需要知道角平分线定理：在三角形中，一条角的平分线将对边分成与两其他边的比相等的两条线段。在这个问题中，PC是角PAB的内角平分线，所以PA：PB=AC：BC=3：1。因此，PA=3x，PB=x，其中x是一个正实数。然后，我们可以使用海龙公式计算三角形PAB的面积。海龙公式如下：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，S表示三角形的面积，a、b和c表示三角形的三个边，s表示半周长，即s = (a+b+c)/2对于三角形PAB，它的三个边分别为PA、PB和AB。由于PA=3x，PB=x，AB=2，所以s = (3x+x+2)/2 = 2x+1而s-a = (2x+1) - 3x = 1-xs-b = (2x+1) - x = x+1s-c = (2x+1) - 2 = 2x-1因此，三角形PAB的面积为：S = √[(2x+1)(x+1)(2x-1)(1-x)]为了使S最大化，我们需要对S求导数并令其为零，以找到x的最优值。将S代入海龙公式，并化简导数，得到：

答：dS/dx = (3x^2 - 4x + 1) / (4√[(2x+1)(x+1)(2x-1)(1-x)])令dS/dx=0，解方程得到：x = 1/3 或 x = 1因为三角形PAB是锐角三角形，所以x=1/3是不合适的，因为此时三角形的角度不满足要求。因此，x=1时，三角形PAB的面积最大。将x=1代入海龙公式，得到：S = √[3(2)(0)(1)] = 0因此，三角形PAB的面积为0。答案：三角形PAB的面积最大值为0。

答：首先，由于 $PC$ 是 $\triangle PAB$ 的内角平分线，所以 $PC$ 将 $\triangle PAB$ 分成了两个相似的三角形 $\triangle PAC$ 和 $\triangle PBC$，且 $PA:PB=AC:BC=3:1$。由于面积与边长的关系是二次函数，因此可以利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 来求解。设 $\angle PAB=\theta$，则 $\angle PAC=\frac{\theta}{2}$，$\angle PBC=\frac{\theta}{2}$。设 $PA=x$，则 $PB=3x$，$PC=2x$，$AC=3$，$BC=1$。根据正弦定理可得：$$\frac{AC}{\sin \frac{\theta}{2}}=\frac{PC}{\sin \frac{\theta}{2}} \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{\theta}{2}=\frac{3}{2x}$$

答：$$\frac{BC}{\sin \frac{\theta}{2}}=\frac{PB}{\sin \frac{\theta}{2}} \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{\theta}{2}=\frac{3x}{2\sqrt{10}}$$将上述两个式子联立，得到 $x=\sqrt{10}$，$\theta=2\arcsin(\frac{3}{4\sqrt{10}})$。因此，$\triangle PAB$ 的面积为：$$S_{PAB}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot 3 \cdot \sin \theta =\frac{3\sqrt{10}}{4}\cdot \frac{3}{\sqrt{40}}=\frac{27}{8}$$因此，$\triangle PAB$ 的面积最大为 $\frac{27}{8}$。