Question

_1=(1,2,1,-2) , _2=(2,3,1,0) , a_3=(1,2,2,-3) ,求W=L(_1,_2,_3) 的基与维

Answer 1

问：_1=(1,2,1,-2) , _2=(2,3,1,0) , a_3=(1,2,2,-3) ,求 W=L(_1,_2,_3) 的基与维

答：由于三个向量都是四维向量，而且向量个数大于向量维数，因此W不是一个线性无关的向量组，也就不是一个基。我们需要对三个向量进行线性组合，使得它们张成的子空间的维数等于W的维数。设a_3为线性组合系数，即：a_1 * _1 + a_2 * _2 + a_3 * _3 = 0写成矩阵形式为：[1 2 1 -2] [a_1] [0] [2 3 1 0] * [a_2] = [0] [1 2 2 -3] [a_3] [0]使用高斯消元法，将增广矩阵化为阶梯形矩阵：[1 2 1 -2 | 0 ] [0 -1 -1 4 | 0 ] [0 0 0 0 | 0 ]解得a_1 = -3a_3，a_2 = -5a_3。因此，可以将基向量组写为：{_1, _2, _3} = {(-3, -6, -3, 6), (-10, -15, -5, 0), (1, 2, 2, -3)}这是一个三维向量组，因此W的维数为3。