Question

12.设R^3的线性变换定义如 F:a(x1,x2,xy)=(3x2-2xyx1+3x3,x1-x2) 求在-|||-基

Answer 1

问：12.设R^3的线性变换定义如 F:a(x1,x2,xy)=(3x2-2xyx1+3x3,x1-x2) 求在-|||-基

答：亲，您好。首先，我们需要找到基向量在新基下的表示。设-|||-基为{u,v,w}，则u = (1,0,-1)v = (-1,1,0)w = (0,1,-1)我们分别将它们表示为新基下的向量：F(u) = (3(0) - 2(-1)(1) + 3(-1), 1 - 0) = (-1,1)F(v) = (3(1) - 2(0)(-1) + 3(0), 0 - 1) = (3,-1)F(w) = (3(-1) - 2(1)(0) + 3(1), -1 - 0) = (4,-1)因此，线性变换F在-|||-基下的矩阵为：[ -1 3 4 ]

问：是这道题的答案

答：将基向量a、b、c代入线性变换F，得到：F(a) = (0, 1, 1)F(b) = (3, 0, -1)F(c) = (-2, 3, 1)然后，我们将F(a)、F(b)、F(c)表示成在原基下的坐标，组成一个矩阵，这个矩阵就是F在原基下的矩阵表示。由于a、b、c是标准基，所以它们在标准基下的坐标就是它们本身。因此，F(a)、F(b)、F(c)在标准基下的坐标分别为：[F(a)]_E = [0, 1, 1]^T[F(b)]_E = [3, 0, -1]^T[F(c)]_E = [-2, 3, 1]^T我们将这三个向量表示为列向量，并将它们组成一个矩阵A：A = [F(a)]_E [F(b)]_E [F(c)]_E = [0 3 -2] [1 0 3] [1 -1 1]现在，我们需要将A转化为在a、b、c基下的矩阵表示。设A'为A在a、b、c基下的矩阵表示，则有：A' = P^(-1) A P其中，P是由a、b、c组成的矩阵，P^(-1)是P的逆矩阵。由于a、b、c是标准基，所以P就是一个单位矩阵：P = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]因此，P^(-1)也是一个单位矩阵：P^(-1) = [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]将上面的式子代入A'，得到：A' = P^(-1) A P = A即F在a、b、c基下的矩阵表示为：[F]_abc = A = [0 3 -2] [1 0 3] [1 -1 1]因此，所求的矩阵为：[0 3 -2][1 0 3][1 -1 1]

答：亲，您好。a,b,c 分别是x1,x2,x3