Question

已知f(x)等于xlnx-ax的平方当a=e证明，fx+2x小于等于0

Answer 1

问：已知f(x)等于xlnx-ax的平方当a=e证明，fx+2x小于等于0

答：证明：当a=e时：f(x）=xInx-ex²（x>0）, 要证f(x)+2x≤0，即证Inx-ex+2≤0.

答：设h(x)=lnx-x+1则h’(x)=1/x-1=（1-x）/x当x∈(0,1)时，h'(x)>0；当x∈1,+∞)时，h'(x)<0. 所以h(x)在(0,1）上单调递增，在(1,+∞）上单调递减 所以h(x)max = h(1）=0，即lnx-x+1≤0ln(ex)-ex+1≤0， 所以Inx-ex+2≤0， 即f(x)+2x≤0，当且仅当x=1/e时等号成立

答：Inx-ex+2≤0. 需要变形一下lnx+lne-ex+1≤0.即ln(ex)-ex+1≤0所以可以构造h(x)=lnx-x+1

答：也可以直接构造h(x)=Inx-ex+2直接求导，这样写更好一点

答：直接构造h(x)=Inx-ex+2，求导，求最大值，证明不等式成立