Question

f(x)=(x-1/x)lnx的单调性

Answer 1

问：f(x)=(x-1/x)lnx的单调性

答：亲亲我们首先对函数 f(x) 进行求导，然后根据导数的正负来分析其单调性。f(x) = (x - 1/x)ln(x)首先对 ln(x) 进行求导得到 1/x。接下来，我们对 (x - 1/x) 进行求导，使用乘法法则：f'(x) = [1 - (-1/x^2)]ln(x) + (x - 1/x) * (1/x)= [1 + 1/x^2]ln(x) + (x - 1/x^2)/x= [1 + 1/x^2]ln(x) + (x^2 - 1)/x^3要确定 f'(x) 的正负，我们需要分析 [1 + 1/x^2]ln(x) 和 (x^2 - 1)/x^3 的正负。首先，对于 [1 + 1/x^2]ln(x)，当 x > 0 时，ln(x) 是正数，而 [1 + 1/x^2] 是正数，所以 [1 + 1/x^2]ln(x) 是正数。其次，对于 (x^2 - 1)/x^3，我们可以将其进行因式分解为 (x + 1)(x - 1)/x^3。当 x > 0 时，(x + 1) 和 (x - 1) 都是正数，所以 (x + 1)(x - 1) 也是正数，而 x^3 是正数。

答：综上所述，f'(x) = [1 + 1/x^2]ln(x) + (x^2 - 1)/x^3 是正数。根据导数的正负来判断单调性，我们得出结论：f(x) = (x - 1/x)ln(x) 在 x > 0 的范围内是单调递增的。