Question

∬∑(xy+1)dzdx,其中∑是曲面y=√1-xx-zz的左侧

Answer 1

问：∬∑(xy+1)dzdx,其中∑是曲面y=√1-xx-zz的左侧

答：首先需要确定积分区域的范围。由于 ∑ 是曲面 y = √(1 - x^2 - z^2) 的左侧，因此我们可以将其表示为：y ≥ 0x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1这个区域可以用球坐标系表示。在球坐标系下，积分区域变为：0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ φ ≤ π/2现在我们可以将积分转换为球坐标系下的积分：∬∑(xy+1)dzdx = ∫₀¹∫₀²π∫₀^(π/2) (r sin φ cos θ)(r sin φ sin θ) + 1)r² sin φ drdθdφ接下来，我们需要计算被积函数的积分。首先计算 xy 的积分：∫₀²π∫₀^(π/2) (r sin φ cos θ)(r sin φ sin θ) sin φ dθdφ = 0因为积分区域是对称的，xy 在整个区域内的积分为 0。接下来计算 1 的积分：∫₀¹∫₀²π∫₀^(π/2) r² sin φ drdθdφ = 4π/3将两个积分结果相加即可得到最终结果：∬∑(xy+1)dzdx = 4π/3

问：要有第二类曲面积分计算

答：亲亲~您这边是想咨询上一个问题的第二类曲面积分吗

问：对用第二类曲面积分计算上一个题

答：首先，我们需要将曲面投影到x-z平面上，以便于进行积分。由于曲面是关于y轴对称的，因此我们可以只考虑投影区域的一半，即x>=0的部分。投影到x-z平面上，投影区域为D={(x,z)|0<=x<=1,0<=z<=1-x^2}。因此，第二类曲面积分可以表示为：∬∑(xy+1)dzdx = 2∬D (y(x,z)+1) sqrt(1+fx^2+fy^2) dzdx其中，f(x,z) = -x/(y*sqrt(1-x^2-z^2))是投影区域的边界曲线的斜率。现在，我们需要确定y(x,z)的表达式。根据曲面方程y=√(1-x^2-z^2)，我们有y(x,z)=√(1-x^2-z^2)。将其代入上式，得到：∬∑(xy+1)dzdx = 2∬D (√(1-x^2-z^2)x+√(1-x^2-z^2)+1) sqrt(1+fx^2+fy^2) dzdx现在，我们可以对x和z进行积分。首先对z积分，得到：∬∑(xy+1)dzdx = 2∫0^1 ∫0^(1-x^2) (√(1-x^2-z^2)x+√(1-x^2-z^2)+1) sqrt(1+fx^2+fy^2) dzdx

答：接下来，对x积分，得到：∬∑(xy+1)dzdx = 4/3∫0^1 (1-x^2)^(3/2) (x+1) dx对右侧的积分进行换元，令u=1-x^2，得到：∬∑(xy+1)dzdx = 4/3∫0^1 u^(1/2) du = 8/15因此，原式的结果为8/15。