Question

sin²(α+30º)+sin²(60º-α)-tan(45º+α)tan(45α-α)

Answer 1

问：sin²(α+30º)+sin²(60º-α)-tan(45º+α)tan(45α-α)

答：可以利用一些三角恒等式来化简这个表达式。下面是其中一种化简方法：首先，利用正弦的和差公式将第一个正弦项展开：sin²(α+30º) = [sin(α)cos(30º) + cos(α)sin(30º)]² = [sin(α)(√3/2) + cos(α)(1/2)]² = 3/4 sin²(α) + 1/4 cos²(α) + √3/2 sin(α)cos(α)接下来，利用正弦的和差公式将第二个正弦项展开：sin²(60º-α) = sin²60ºcos²α - 2sin60ºcos60ºsinαsin(60º-α) = 3/4 cos²(α) - √3/2 sin(α)cos(α)最后，利用正切的和差公式将第三个项展开：tan(45º+α)tan(45º-α) = [tan(45º)+tan(α)][tan(45º)-tan(α)] = [1+tan(α)][1-tan(α)] = 1 - tan²(α)将这三个式子代入原表达式，得到：sin²(α+30º)+sin²(60º-α)-tan(45º+α)tan(45º-α)= (3/4 sin²(α) + 1/4 cos²(α) + √3/2 sin(α)cos(α)) + (3/4 cos²(α) - √3/2 sin(α)cos(α)) - (1 - tan²(α))= 1/2 - 1/2 cos²(α) + √3/2 sin(α)cos(α) - tan²(α)因此，原表达式可以化简为：1/2 - 1/2 cos²(α) + √3/2 sin(α)cos(α) - tan²(α)