Question

求d/dx∫上限-1下限-exIn(1+x²)dx=

Answer 1

问：求d/dx∫上限-1下限-exIn(1+x²)dx=

答：首先，我们可以使用换元法来计算此积分。设 u = 1 + x^2，则 x = sqrt(u - 1)， dx = (1/2) * (u - 1)^(-1/2) du。将这个换元代入到原式中得到：d/dx ∫上限-1下限 -ex * In(1+x²) dx= d/du (∫上限-1下限 -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2) du)我们可以将导数和积分的次序交换，也就是：= (∫上限-1下限 d/du (-e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2)) du)接下来，我们来计算这个积分中的导数部分：d/du (-e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))= (-e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))’应用乘积法则和链式法则得到：= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))’ + (-e(sqrt(u-1

答：应用乘积法则和链式法则得到：= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))’ + (-e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2)) * (u - 1)‘^(-1/2)= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))’ + (-e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2)) * (-1/2) * (u - 1)^(-3/2) * (u - 1)’= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1/2))’ - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) * (u - 1)’= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * ((u - 1)^(-1/2))’ - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) * (u - 1)’= -e

答：= -e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (-1/2) * (u - 1)^(-3/2) - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) * 1= e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-3/2) - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1)

答：现在我们将这个导数代入到积分中得到：(∫上限-1下限 e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-3/2) - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) du)对这个积分进行计算，我们可以将此积分分成两个部分，然后分别计算：第一部分： (∫上限-1下限 e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-3/2) du)第二部分： (∫上限-1下限 - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) du)

答：对于第一部分，我们可以使用分部积分法来计算，设 f (u) = e(sqrt(u-1)) 和 g’(u) = In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-3/2)，则有：f’(u) = (1/2) * e(sqrt(u-1)) * (u - 1)^(-1/2) 和 g(u) = -In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-1/2)根据分部积分法的公式 ∫ u * v’ du = u * v - ∫ u’ * v du，我们可以得到：

答：∫上限-1下限 e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-3/2) du= (e(sqrt(u-1)) * (-In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-1/2))) 上限-1下限 - ∫上限-1下限 (-In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-1/2)) * (1/2) * e(sqrt(u-1)) * (u - 1)^(-1/2) du= e(sqrt(u-1)) * (-In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-1/2)) 上限-1下限 + (1/8) * (∫上限-1下限 In(u) * (u - 1)^(-1) du)

答：对于第二部分，我们可以直接计算这个积分，得到：(∫上限-1下限 - e(sqrt(u-1)) * In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1) du)= (-In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1)) 上限-1下限 + (1/2) * (∫上限-1下限 In(u) * (u - 1)^(-1) du)综上所述，我们可以将原式分成两部分进行计算：第一部分： (e(sqrt(u-1)) * (-In(u) * (1/4) * (u - 1)^(-1/2))) 上限-1下限 + (1/8) * (∫上限-1下限 In(u) * (u - 1)^(-1) du)

答：第二部分： (-In(u) * (1/2) * (u - 1)^(-1)) 上限-1下限 + (1/2) * (∫上限-1下限 In(u) * (u - 1)^(-1) du)