Question

已知fx=2倍根3+sin+x+cos+x-+2+2+cos方x

Answer 1

问：已知fx=2倍根3+sin+x+cos+x-+2+2+cos方x

答：亲，您好，已知fx=2√3sinxcosx-2+2sinx²，求fx单调减区间的第一小问答案如下：（1）首先，将 fx 展开可以得到：fx = 2√3sin(x)cos(x) - 2 + 2sin²(x)然后，对 fx 求导数，有：f'(x) = 2√3[cos²(x) - sin²(x)] + 4sin(x)cos(x)化简可得：f'(x) = 2√3cos(2x) + 2sin(2x)要求 fx 的单调减区间，就需要找出 f'(x) 的符号。为了方便计算，我们可以将 f'(x) 写成如下形式：f'(x) = 2sin(60°)cos(2x) + 2cos(60°)sin(2x)根据正弦和余弦的性质，可以将 f'(x) 写成以下形式：f'(x) = 2sin(2x + 60°)因此，f'(x) 的符号取决于 sin(2x+60°) 的符号。注意到 sin 函数是周期函数，其周期为 2π。因此，如果能够确定 sin(2x+60°) 在一个周期内的符号变化情况，就可以确定 f'(x) 的单调性。sin(2x+60°) 的符号变化情况如下：当 2x+60° ∈ [0°, 180°) 时，sin(2x+60°) > 0当 2x+60° ∈ [180°, 360°) 时，sin(2x+60°) < 0因此，f'(x) 的单调减区间为 [2kπ-150°, (2k+1)π-210°]，其中 k 为整数。综上所述，fx 的单调减区间为 [2kπ-150°, (2k+1)π-210°]。

答：亲，您好，此题的第二小问当x∈ （0，2分之π）时，求fx值域的解答如下：将 fx 展开并化简，可以得到：fx = 2√3sin(x)cos(x) - 2 + 2sin²(x) = √3sin(2x) - 1 + (1 + cos(2x))根据三角函数的性质，sin(2x) 的值域在 [-1, 1] 之间，而 cos(2x) 在区间 (0, 2π) 内为正数。因此，fx 的取值范围为：fx ∈ [√3-2, √3+1]因此，在区间 (0, 2π) 内，fx 的值域为 [√3-2, √3+1]。

答：亲，您好，此题的第三小问△ABC中，A，B，C分别对a，b，c。若f（A）=1，a=√3，求b+c的范围解答如下：将 fx 展开并化简，可以得到：fx = 2√3sin(x)cos(x) - 2 + 2sin²(x) = √3sin(2x) - 1 + (1 + cos(2x))根据题目中的信息，f(A) = f(a) = 1，因此有：2√3sin(A)cos(A) - 2 + 2sin²(A) = 1代入 a = √3，可以得到：2√3sin(A)cos(A) - 2 + 2sin²(A) = 1 2sin(A)cos(A) - 1 + sin²(A) = 1/2移项并合并同类项，可以得到：sin²(A) + 2sin(A)cos(A) - 3/2 = 0根据三角函数的性质，有：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)因此，上式可以写成以下形式：sin²(A) + sin(2A) - 3/2 = 0解这个二次方程，可以得到：sin(A) = (-1 ± √7)/2由于 A 是锐角，因此有 sin(A) > 0。因此，我们取正根：sin(A) = (-1 + √7)/2现在来考虑 b+c 的范围。由于 A 对 a，B 对 b，C 对 c，因此有：a = √3sin(A) b = √3sin(B) c = √3sin(C)因为 A 是锐角，所以有 0 < A < π/2。因此，0 < sin(A) < 1代入 sin(A) 的值，可以得到：0 < (-1 + √7)/2 < 1化简可得：1 < √7 < 3因此，2 < b+c < 6综上所述，在给定条件下，b+c 的范围为 (2, 6)。