Question

n 1/n的n次方的极限

Answer 1

问：n 1/n的n次方的极限

答：要求n^(1/n)的极限，可以使用自然对数的性质，即ln(x^a)=a*ln(x)。具体步骤如下：令L = lim(n→∞) n^(1/n)，则ln(L) = ln(lim(n→∞) n^(1/n))由于ln(x)是单调递增函数，因此可以交换极限辩段符号和ln函数，即：ln(L) = lim(n→∞) ln(n^(1/n))由于ln函数是连续函数，因此可携袜誉以进一步化简：ln(L) = lim(n→∞) (1/n) * ln(n)使用洛必达法则，可以得到：ln(L) = lim(n→∞) (1/n) * ln(n) = lim(n→好启∞) (1/n) / (1/n) = 1因此，L = e^ln(L) = e^1 = e。所以，n^(1/n)的极限是e。

问：能不能再展开讲讲？

答：当求一个数的极限时，我们可以尝试使用对数或指数的性质来化简式子。对于 n^(1/n) 这个式子，我们可以使用自然对数的性质来求它的极限。我们令 L = lim(n→∞) n^(1/n)，然后对 L 取自然对数，即 ln(L)。这样做的原因是，自然对数函数 ln(x) 是一个连续函数，而且它的导数为 1/x，比较容易求导，因此可以耐基橘使用它来化简式子。接昌团下来，我们对 ln(L) 进行化简。根据指数函数的性质，ln(x^a) = a*ln(x)，因此：ln(L) = ln(lim(n→∞) n^(1/n)) = lim(n→∞) ln(n^(1/n)) = lim(n→∞) (1/n) * ln(n)这一步的化简是因为 ln 函数是单调递增的，所以可以将极限符号和 ln 函数交换位置。接下来，我们使用洛必达法则来求这个极限：ln(L) = lim(n→∞) (1/n) * ln(n)对 ln(n) 求锋孙导，得到 1/n，因此：ln(L) = lim(n→∞) (1/n) / (1/n) = 1因此，L = e^ln(L) = e^1 = e。因此，n^(1/n) 的极限是 e。