Question

已知函数f(x)=log2(ax^2+(a-1)x+1/4).求单调性

Answer 1

问：已知函数f(x)=log2(ax^2+(a-1)x+1/4).求单调性

答：亲亲，您好，根据您的问题为您做出解答:首先，由于对数函数的定义域要求其参数大于0，因此有：ax^2 + (a - 1)x + 1/4 > 0解得：x 1/2 或 x > 1/a其次，对函数f(x)求导，有：f'(x) = 2ax + a - 1 / [2(ax^2 + (a-1)x + 1/4)ln2]为了方便讨论，我们设g(x) = ax^2 + (a-1)x + 1/4，那么g(x)的判别式为Δ = (a-1)^2 - 4a/4 = (a-1)^2 - a当Δ≥0时，即 (a-1)^2 - a ≥ 0，解得 a ≤ 1 或 a ≥ 2当Δ<0时，即 (a-1)^2 - a < 0，解得 1 < a < 2接下来分别讨论三种情况：当 a ≤ 1 时，由于g(x)≥0，因此f(x)的定义域为全体实数，由对数函数的单调性可知f(x)单调递减。当 a ≥ 2 时，由于g(x)≥0，因此f(x)的定义域为 x 1/2 或 x > 1/a，再根据f'(x)的符号可知：当 x 1/2 时，f'(x) = 2ax + a - 1 / [2(ax^2 + (a-1)x + 1/4)ln2] > 0，即f(x)单调递增。当 x > 1/a 时，f'(x) = 2ax + a - 1 / [2(ax^2 + (a-1)x + 1/4)ln2] < 0，即f(x)单调递减。因此，当 a ≥ 2 时，f(x)在 x 1/2 时单调递增，在 x > 1/a 时单调递减。当 1 < a < 2 时，由于g(x)的判别式Δ<0，因此g(x)恒大于0，f(x)的定义域为 x 1/2 或 x > 1/a，再根据f'(x)的符号可知：当 x (1-a)/(2a) 时，f'(x) = 2ax + a - 1 / [2(ax^2 + (a-1)x + 1/4)ln2] > 0，即f(x)单调递增。当 (1-a)/(2a) < x 1/2 或 x > 1/a 时，f'(x) = 2ax + a - 1 / [2(ax^2 + (a-1)x + 1/4)ln2] < 0，即f(x)单调递减。因此，当 1 < a < 2 时，f(x)在 x < (1-a)/(2a) 时单调递增，在 (1-a)/(2a) < x 1/2 或 x > 1/a 时单调递减。综上所述，当 a ≤ 1 时，f(x)单调递减；当 a ≥ 2 时，f(x)在 x 1/2 时单调递增，在 x > 1/a 时单调递减；当 1 < a < 2 时，f(x)在 x < (1-a)/(2a) 时单调递增，在 (1-a)/(2a) < x 1/2 或 x > 1/a 时单调递减。

问：有点不理解

答：亲亲，您好，根据您的问题为您做出解答:首先要注意的是，对于函数$f(x)=\log_2(ax^2+(a-1)x+1/4)$，由于对数函数的定义域要求括号中的值大于0，因此应当满足以下条件：$$ax^2+(a-1)x+\frac{1}{4}>0$$化简上式得：$$a\left(x+\frac{1-a}{2a}\right)^2+\frac{1-2a}{4a}>0$$由于$a>0$，因此$x+\frac{1-a}{2a}$的平方大于等于0，即$\left(x+\frac{1-a}{2a}\right)^2\geq 0$。因此，$ax^2+(a-1)x+\frac{1}{4}>0$的条件可以简化为：$$\frac{1-2a}{4a}>0$$解得$a0.5$。接下来，我们考虑求函数$f(x)$的单调性。对于对数函数$f(x)=\log_2(ax^2+(a-1)x+1/4)$，我们可以先求出它的导函数$f'(x)$，然后判断$f'(x)$的正负性来确定$f(x)$的单调性。$$f'(x)=\frac{2ax+a-1}{ax^2+(a-1)x+1/4}\cdot\frac{1}{\ln 2}$$由于$x^2+(a-1)/a\cdot x+1/4=(x+(1-a)/(2a))^2\geq 0$，因此分母始终大于0，可以不考虑分母的符号。当$2ax+a-1>0$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$单调递增；当$2ax+a-1<0$时，$f'(x)\frac{1}{2}$时，$2ax+a-1>0$，$f(x)$单调递增；当$a<\frac{1}{2}$时，$2ax+a-1<0$，$f(x)$单调递减。特别地，当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)$为常函数，单调性为不变。

答：这样子可以吗亲

问：

答：如果您有哪些不理解的地方，请您详细说明，我会尽力给出更加清晰易懂的解释。

问：原题拍给您看下，拍不了

问：第二个全乱码，乱套了

问：当a=0或a#0做两方面讨论，你这回答完全不同

答：。当$a=0$时，函数$f(x)=\log_2(ax^2+(a-1)x+1/4)$中的$a$为0，因此无法使用之前的方法来判断单调性。此时，可将$a$视为一个极小的正数（趋近于0），即$a=\epsilon$，$\epsilon$为接近于0的一个正数。此时，可以按照之前的方法进行计算，得到当$0<\epsilon\frac{1}{2}$时，$f(x)$单调递增。由于$a$趋近于0，因此可以得出当$a$趋近于0时，$f(x)$单调递减。 当$a\neq 0$时，按照之前的方法进行计算，得到当$a>\frac{1}{2}$时，$f(x)$单调递增；当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$单调递增；当$a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$单调递减。