Question

将+f(x)=1/(x^2-x-6)+展开成x+1的幂级数,并求级数的收敛半径

Answer 1

问：将+f(x)=1/(x^2-x-6)+展开成x+1的幂级数,并求级数的收敛半径

答：$$f(x)=\frac{1}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1-(x/5)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+(x/2)}$$接下来，我们将使用幂级数展开的公式：$$(1+t)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n, |t|<1$$将$t=x/5$代入上式，可得：$$\frac{1}{1-(x/5)}=\sum_{n=0}^{\infty}(x/5)^n, |x/5|<1$$同理，将$t=-x/2$代入上式，可得：$$\frac{1}{1+(x/2)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x/2)^n, |-x/2|<1$$将上述两式代入$f(x)$的式子，可得：$$f(x)=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}(x/5)^n-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-x/2)^n$$对上式进行化简，得到：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{5^{n+1}}x^n-\s

问：请问这个级数的收敛半径是多少？

答：对于幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$，其收敛半径$R$可以使用下列公式计算：$$R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$在这个问题中，我们可以看出幂级数的形式为$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x+1)^n$，所以$a=1$。根据上面的展开式，我们可以得到：$$a_n=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\cdot(-2)^n$$因此，我们可以计算出：$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|5(-2)^{n+1}|}{|(5/2)^{n+1}+(-2)^{n+2}|}=\frac{4}{5}$$因此，幂级数的收敛半径为$R=5/4$。

答：亲，您有时间可以用您发财的小手点下五和关注吗，以后有问题可以直接问，会不定时回复，谢谢您，祝您天天开心