Question

3.计算曲线积分 [(e^xsiny-x-y)dx(2x-e^xcosy)dy, 其中L为从点原点O(0,0)沿曲y＝根号下4x-x^2到A（4，0）的有向弧段。

Answer 1

问：3.计算曲线积分 [(e^xsiny-x-y)dx(2x-e^xcosy)dy, 其中L为从点原点O(0,0)沿曲y＝根号下4x-x^2到A（4，0）的有向弧段。

答：首先，我们需要确定路径 $L$ 的参数方程。因为路径 $L$ 是从原点 $O(0,0)$ 出发，到点 $A(4,0)$，且路径与 $x$ 轴相切，因此可以用参数方程 $x=t,y=4-t^2$ 来表示路径 $L$。其中 $t\in[0,2]$，因为路径 $L$ 是半个圆。接下来，我们需要计算被积函数 $f(x,y)=e^{x\sin y}-x-y$ 在路径 $L$ 上的曲线积分。根据曲线积分的定义，有：$$\begin{aligned} \int_L f(x,y)\mathrm{d}s &= \int_0^2 f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t \ &= \int_0^2 [e^{x(t)\sin y(t)}-x(t)-y(t)]\sqrt{(1+\cos^2 y(t))}\mathrm{d}t \ &= \int_0^2 [e^{t\sin(4-t^2)}-t-(4-t^2)]\sqrt{(1+16t^2-8t^4)}\mathrm{d}t \end{aligned}$$这是一个较为复杂的积分，可以使用数值积分的方法来计算。例如，可以使用复合梯形公式或 Simpson 公式进行数值积分。具体来说，可以将积分区间 $[0,2]$ 分成 $n$ 个小区间，然后在每个小区间上使用梯形公式或 Simpson 公式进行数值积分，最后将结果累加起来。当 $n$ 足够大时，数值积分的结果就可以达到较高的精度。在实际计算中，还需要注意到被积函数 $f(x,y)$ 在路径 $L$ 上可能存在奇点或间断点。如果遇到这种情况，需要将路径 $L$ 分成多个小段，然后对每个小段分别进行曲线积分。