Question

随机变量X的概率密度为f(x)=eˇ-x,x>0,求Y=2X的数学期望和Y=eˇ-2X的数学期望

Answer 1

(1)EY=2E(X)=2

(2)E(Y)=∫(-∞,+∞)f(x)e^(-2x)dx=1/3

期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

实际运用

乒乓球是我们的国球，上世纪兵兵球也为中国带了一些外交。中国队在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设德国队和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制， 一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利。

分析：由于中国队在这项比赛中的优势，不妨设中国队中每一位队员德国队员的胜率都为60%，接着只需要比较两个队对应的数学期望即可。

Answer 2

分部积分。
E{2X}=2∫[0,∞]{xe^(-x)}dx = -2∫[0,∞]xde^(-x) = 2∫[0,∞]e^(-x)dx = 2
E{e^(-2X)}=∫[0,∞]{e^(-3x)}dx = 1/3

追问

这个分部积分怎么做的？能给出具体步骤么？分部积分公式不是∫udv=uv-∫vdu么？你算的怎么没有uv？是步骤省略了么？

追答

-2∫[0,∞]xde^(-x) = -2xe^(-x)|[代入上限∞, 代入下限0] + 2∫[0,∞]e^(-x)dx = 2

其中 -2xe^(-x)|[代入上限∞, 代入下限0] = 0 - 0 = 0