设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则
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亲，您好很高兴为您回答这个问题哦~
，设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则：易得x2=5>3设当n=k(k≥2)时,xn>3根据递推公式得xk+1=1/2*(xk+9/xk)≥1/2*2√(xk*9/xk)=3当且仅当xk=9/xk,即xk=±3时取等号∵xk>3,∴等号无法取得∴xk+1>3即n=k+1时xn>3成立∴对任意n≥2,有xn>3作辅助函数f(x)=x+9/x,x>3,易证f(x)递增∵x2=5,x3=17/5
，设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则：易得x2=5>3设当n=k(k≥2)时,xn>3根据递推公式得xk+1=1/2*(xk+9/xk)≥1/2*2√(xk*9/xk)=3当且仅当xk=9/xk,即xk=±3时取等号∵xk>3,∴等号无法取得∴xk+1>3即n=k+1时xn>3成立∴对任意n≥2,有xn>3作辅助函数f(x)=x+9/x,x>3,易证f(x)递增∵x2=5,x3=17/5咨询记录 · 回答于2022-10-06
设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则
亲，您好很高兴为您回答这个问题哦~，设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则：易得x2=5>3设当n=k(k≥2)时,xn>3根据递推公式得xk+1=1/2*(xk+9/xk)≥1/2*2√(xk*9/xk)=3当且仅当xk=9/xk,即xk=±3时取等号∵xk>3,∴等号无法取得∴xk+1>3即n=k+1时xn>3成立∴对任意n≥2,有xn>3作辅助函数f(x)=x+9/x,x>3,易证f(x)递增∵x2=5,x3=17/5
，设数列{Xn}由递推公式Xn+1=1/2{Xn+9/Xn}给出,其中X1=1.试用“单调性有界准则：易得x2=5>3设当n=k(k≥2)时,xn>3根据递推公式得xk+1=1/2*(xk+9/xk)≥1/2*2√(xk*9/xk)=3当且仅当xk=9/xk,即xk=±3时取等号∵xk>3,∴等号无法取得∴xk+1>3即n=k+1时xn>3成立∴对任意n≥2,有xn>3作辅助函数f(x)=x+9/x,x>3,易证f(x)递增∵x2=5,x3=17/5
亲，您好很高兴为您回答这个问题哦~，令F（x）=2+3x1+x=3-11+x，0≤x≤3．则 F′（x）=1(1+x)2＞0，故F（x）在[0，1]上严格单调增，从而F（0）＜F（x）＜F（3），?x∈（0，3），即：当x∈（0，3）时，2＜F（x）＜114＜3．因为0＜x1＜1，xn+1＝2+3xn1+xn=F（xn），故数列{xn}单调增加且2＜xn＜3，从而limn→∞xn存在，不妨设limn→∞xn=A．因为xn+1＝2+3xn1+xn，两边取极限可得，A＝2+3A1+A，从而 A2-2A-2=0，求解可得：A=1+3或者1?3．因为2＜xn＜3，故由极限的保序性，应该有：2≤A≤3，故而limn→∞xn=A=1+3．
，令F（x）=2+3x1+x=3-11+x，0≤x≤3．则 F′（x）=1(1+x)2＞0，故F（x）在[0，1]上严格单调增，从而F（0）＜F（x）＜F（3），?x∈（0，3），即：当x∈（0，3）时，2＜F（x）＜114＜3．因为0＜x1＜1，xn+1＝2+3xn1+xn=F（xn），故数列{xn}单调增加且2＜xn＜3，从而limn→∞xn存在，不妨设limn→∞xn=A．因为xn+1＝2+3xn1+xn，两边取极限可得，A＝2+3A1+A，从而 A2-2A-2=0，求解可得：A=1+3或者1?3．因为2＜xn＜3，故由极限的保序性，应该有：2≤A≤3，故而limn→∞xn=A=1+3．
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