怎么将sinz在z=1展开成幂级数
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f(z)=1/(z+1)-1/(z+2)
为了在z=a点展开，我们做如下变形：
=1/[(a+1)-(a-z)]-1/[(a+2)-(a-z)]
=[1/(a+1)]*{1/[1-(a-z)/(a+1)]}-[1/(a+2)]*{1/[1-(a-z)/(a+2)]}
这样就可以看成是两个等比级数的和了，公比分别是(a-z)/(a+1)和（a-z)/(a+2），都是包含（z-a）的因式，若将其展开就是得到z=a的泰勒级数
为了书写方便，记（a-z)/(a+1)=q1,（a-z)/(a+2）=q2,则
f(z)=[1/(a+1)]*{1+q1+(q1)^2+(q1)^3+...}-[1/(a+2)]*{1+q2+(q2)^2+(q2^3)=...}
这就是z=a的领域内展开为泰勒级数
咨询记录 · 回答于2023-12-29
怎么将sinz在z=1展开成幂级数
f(z) = 1/(z+1) - 1/(z+2)
为了在z=a点展开，我们进行如下变形：
= 1/[(a+1)-(a-z)] - 1/[(a+2)-(a-z)]
= [1/(a+1)] * {1/[1-(a-z)/(a+1)]} - [1/(a+2)] * {1/[1-(a-z)/(a+2)]}
这样就可以看作是两个等比级数的和，公比分别是(a-z)/(a+1)和(a-z)/(a+2)，都包含(z-a)的因式。
若将其展开，即可得到z=a的泰勒级数。为了书写方便，记(a-z)/(a+1)=q1，(a-z)/(a+2)=q2。
则 f(z) = [1/(a+1)] * {1+q1+(q1)^2+(q1)^3+...} - [1/(a+2)] * {1+q2+(q2)^2+(q2)^3+...}
这就是在z=a的领域内，f(z)展开为泰勒级数的形式。
f(x)=sinx
f'(x)=cosx
f''(x)=-sinx
f'''(x)=-cosx
f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出
f(0)=0
f'(0)=1
f''(x)=0
f'''(0)=-1
f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
# 泰勒公式
根据导数表得：
f(x)=sinx
f'(x)=cosx
f''(x)=-sinx
f'''(x)=-cosx
f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。
分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
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