Question

已知函数f(x)=ax²-lnx+(lnx-1)ax,若/(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围

Answer 1

问：已知函数f(x)=ax²-lnx+(lnx-1)ax,若/(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围

答：首先，我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数。对于一阶导数： f'(x) = 2ax - (1/x) + a(lnx - 1) + a 化简得： f'(x) = 2ax + a(lnx - 1) - (1/x) 再对一阶导数求导： f''(x) = 2a + a/x - 1/x^2 因此，当f(x)处处可导且f'(x)的零点为正实数时，f(x)>=0恒成立，即使f''(x)=0 移项得到： lnx = 1 - 2a / (a+1)x 由于左边是对数函数，右边是线性函数，两者的交点只会有一个或没有。因此，需要满足以下两个条件才能保证f'(x)的零点存在且为正实数： a > 0（否则，当x趋近于0时，f'(x)趋近于负无穷）； 1 - 2a / (a+1)x > 0，即 x > 2a / (a+1)。 因此，a的取值范围为：a>0且2a/(a+1)>0，即a>0。 综上所述，a的取值范围为a>0。