∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1)
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这是一个沿以原点为圆心、半径为2的圆周围的积分，可以使用留数定理求解。
因为被积函数在圆周内有两个极点，分别为z=i和z=-i。首先，根据留数定理，圆周围的积分值等于该圆周围的极点的残余之和。对于一个一阶极点，其残余等于函数在该点处的极限值。对于二阶极点，其残余需要通过泰勒级数展开计算。
我们来计算一下在z=i处的极点：res(i) = lim(z→i) [(z-i)*(e^z)/(z^2+1)]
由于(z-i)和(e^z)/(z^2+1)在z=i处都不为0，因此可以将它们带入极限运算中，得到：res(i) = (e^i)/(2i)
同理，可以计算出在z=-i处的极点：res(-i) = (e^-i)/(-2i)
因此，根据留数定理，圆周围的积分值为：∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1) dz = 2πi [res(i) + res(-i)]
= 2πi [(e^i)/(2i) + (e^-i)/(-2i)]
= π(e^i - e^-i)
综上所述，∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1) dz = π(e^i - e^-i)。
咨询记录 · 回答于2024-01-02
∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1)
这是一个沿以原点为圆心、半径为2的圆周围的积分，可以使用留数定理求解。
因为被积函数在圆周内有两个极点，分别为z=i和z=-i。
首先，根据留数定理，圆周围的积分值等于该圆周围的极点的残余之和。
对于一个一阶极点，其残余等于函数在该点处的极限值。
对于二阶极点，其残余需要通过泰勒级数展开计算。
我们来计算一下在z=i处的极点：res(i) = lim(z→i) [(z-i)*(e^z)/(z^2+1)]
由于(z-i)和(e^z)/(z^2+1)在z=i处都不为0，因此可以将它们带入极限运算中，得到：res(i) = (e^i)/(2i)
同理，可以计算出在z=-i处的极点：res(-i) = (e^-i)/(-2i)
因此，根据留数定理，圆周围的积分值为：∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1) dz = 2πi [res(i) + res(-i)]
= 2πi [(e^i)/(2i) + (e^-i)/(-2i)]
= π(e^i - e^-i)
综上所述，∫|z|=2 ( e^z)÷(z^2+1) dz = π(e^i - e^-i)。
有手写板的吗，谢谢了
有手写版的吗，谢谢了
没有诶 亲 只能打字 我这边没有笔
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