Question

1/n+2的敛散性

Answer 1

当我们考虑数列的敛散性时，我们需要知道在什么条件下该数列的极限存在或者不存在。对于数列$\{\frac{1}{n+2}\}$，我们需要判断它是否收敛，即极限是否存在。
首先，我们可以利用极限的定义来判断这个数列的敛散性。根据定义，当对于任意给定的正实数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，数列$\{\frac{1}{n+2}\}$的前$N$项已经无法影响极限值与$\frac{1}{n+2}$之间的误差时，我们就可以认为该极限存在。换句话说，如果可以找到一个$\epsilon$，使得对于任意的$n>N$，均有$|a_n-L|<\epsilon$，那么该极限就存在。
那么我们现在需要考虑当$n$越来越大时，该数列与其极限之间的误差是否越来越小。根据$\frac{1}{n+2}$的形式，我们可以发现，随着$n$的增大，$\{\frac{1}{n+2}\}$逐渐趋近于0，因此该数列应该是收敛的。
我们还可以通过求导的方法，进一步证明该数列的极限存在。可以发现，$\frac{1}{n+2}$是一个单调递减的函数，并且它的导数为$f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^2}$。显然，$f'(x)<0$，并且$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=0$，因此，根据柯西收敛原理，该数列的极限存在。
综上所述，数列$\{\frac{1}{n+2}\}$是一个收敛的数列，其极限为0。