Question

如何用向量点乘来证明cos （a+b）=cosa×cosb-sina× sinb

Answer 1

问：如何用向量点乘来证明cos （a+b）=cosa×cosb-sina× sinb

答：我们可以使用向量点乘的性质来证明cos （a+b）=cosa×cosb-sina×sinb。首先，我们定义向量A和向量B，分别表示向量a和向量b的方向：向量A = (cos a, sin a) 向量B = (cos b, sin b)

答：这里的向量A和向量B的长度均为1，代表它们都是单位向量。接下来，我们将向量A和向量B进行点乘得到一个标量值：向量A · 向量B = (cos a, sin a) · (cos b, sin b) = (cos a)×(cos b) + (sin a)×(sin b)

答：根据向量点乘的性质，我们可以将上述结果转换为：cos （a+b）= (cos a)×(cos b) + (sin a)×(sin b)这就是我们要证明的等式，即cos（a+b）等于cosa×cosb-sina×sinb。通过向量点乘的性质，我们得出了这个结论。希望能帮到您！如果还有其他问题，请随时提问

问：没太看懂

问：如何用向量来证明sina+b

答：首先，我们定义两个向量： u = (cos a, sin a) v = (cos b, sin b)由于u和v表示的是点(a, b)到原点的向量，所以它们的长度都为1。然后，我们计算u与v的点乘： u · v = (cos a, sin a) · (cos b, sin b) = cos a * cos b + sin a * sin b

答：我们知道，向量的模长可以表示为点乘的平方根，即： ||u|| = sqrt((cos a)^2 + (sin a)^2) = 1 ||v|| = sqrt((cos b)^2 + (sin b)^2) = 1根据向量点乘的定义，我们可以得到： u · v = ||u|| * ||v|| * cos(a - b)

答：由于u和v的长度都为1，所以： ||u|| * ||v|| = 1 * 1 = 1因此，我们有： u · v = cos(a - b)

答：根据余弦的和角公式，我们知道： cos(a - b) = cos a * cos b + sin a * sin b将上式代入，我们得到： u · v = cos(a - b) = cos a * cos b + sin a * sin b

问：如何用向量证明sina+b= Sina ×cosb+cosa×sinb

答：要证明sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，可以利用向量的几何解释来证明。我们可以从两个向量的数量积开始，即对于任意向量u和v，有u·v = |u||v|cosθ，其中θ表示u和v之间的夹角。现在，我们令u = (cos(a), sin(a))和v = (cos(b), sin(b))，其中a和b是任意实数。注意，这里的向量u和v的长度都是1，因为它们被定义为单位向量。现在，我们来计算向量u和v的数量积：u·v = (cos(a), sin(a))·(cos(b), sin(b))= cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

答：另一方面，我们来计算sin(a+b)的值。根据三角恒等式sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)，我们可以将a改为θ和b改为90°-θ，并将sin和cos应用于这些值。sin(a+b) = sin(θ + (90° - θ)) = sin(θ)cos(90° - θ) + cos(θ)sin(90° - θ) = sin(θ)cos(90°)cos(θ) - sin(θ)sin(90°)sin(θ) + cos(θ)sin(90°)cos(θ) = sin(θ)cos(θ)cos(90°) - sin(θ)sin(θ)sin(90°) + cos(θ)sin(θ)cos(θ) = sin(θ)cos(θ)

答：由于a和b是任意实数，我们可以将θ换为a，得到： sin(a+b) = sin(a)cos(a)我们可以观察到sin(a+b)和u·v得到的表达式相同，即sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)。因此，通过向量的数量积和三角恒等式，我们证明了sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)。