Question

计算f(x,y,z)=x+y-z^2+5 在区域D：x^2+y^2+z^2小于等于2上的最大值与最小值

Answer 1

问：计算f(x,y,z)=x+y-z^2+5 在区域D：x^2+y^2+z^2小于等于2上的最大值与最小值

问：答案可以发图片嘛，感谢

答：亲，很高兴为您解答！首先，区域D是一个半径为根号2的球面，可以使用拉格朗日乘数法求解该函数在区域D上的最大值和最小值。 首先，设函数$g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2 = 0$表示区域D的边界，即半径为根号2的球面。 然后，设$L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λg(x,y,z)$为拉格朗日函数，其中λ为拉格朗日乘子。 根据拉格朗日乘数法，求解$L(x,y,z,λ)$的最小值或最大值等价于求解以下方程组的解： $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$ $\frac{\partial L}{\partial z} = 0$ $g(x,y,z) = 0$ 计算偏导数，得： $\frac{\partial L}{\partial x} = 1 + λ^2x = 0$ $\frac{\partial L}{\partial y} = 1 + λ^2y = 0$ $\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - 2λz = 0$ $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2 = 0$ 解以上方程组，得： $x = -\frac{λ}{2}$， $y = -\frac{λ}{2}$， $z = \frac{1}{2λ}$，$λ = \pm\sqrt{2}$ 根据极值的必要条件，当拉格朗日函数的偏导数均为零时，可能存在最大值和最小值。当λ = √2时，$x = -\sqrt{2}/2$，$y = -\sqrt{2}/2$，$z = 1/\sqrt{2}$，此时f(x

答：我们大答题有模板的

答：此时，f(x,y,z)的最大值为： f(-√2/2, -√2/2, 1/√2) = -1/2 当λ = -√2时，x = √2/2，y = √2/2，z = -1/√2，此时f(x,y,z)的最小值为： f(√2/2, √2/2, -1/√2) = 5-2 = 3 因此，f(x,y,z)在区域D上的最大值为-1/2，最小值为3。

答：此时，f(x,y,z)的最大值为： f(-√2/2, -√2/2, 1/√2) = -1/2 当λ = -√2时，x = √2/2，y = √2/2，z = -1/√2，此时f(x,y,z)的最小值为： f(√2/2, √2/2, -1/√2) = 5-2 = 3 因此，f(x,y,z)在区域D上的最大值为-1/2，最小值为3。