Question

高数问题比较大

Answer 1

问：高数问题比较大

问：这两题谢谢

答：你好，第一题首先，我们需要根据题目所给的抛物面方程求出曲面上的元素面积。抛物面方程为:z = 1/2(x^2 + y^2)在极坐标系下，该方程可以表示为：z = r^2/2因此，该曲面上任意一点的面积可以表示为：dS = √(1 + (dz/dr)^2 + (dz/dθ)^2) dr dθ其中，z 对 r 和 θ 的偏导数分别为：dz/dr = rdz/dθ = 0代入上式，得到：dS = √(1 + r^2) dr dθ接下来，需要求出曲面的质量。由于每个点的面密度为 μ(x,y,z) = 3，所以整个曲面的密度也是常数 3。设曲面上的某个小区域为 dV，则该小区域的质量为：dm = μ dV = 3 dV将 dS 表示成极坐标系下的形式，即：dS = √(1 + r^2) dr dθ那么，可以写出该曲面的质量为：m = ∫∫dS = ∫0^2π∫0^√2r 3√(1 + r^2) dr dθ = 14因此，该金属曲面的质量为 14，正确答案为 D。

答：亲亲以下是我为您整理的相关拓展可供您参考：第二题：根据题目所给的式子，可以使用高斯公式来求解该曲面积分。对于一个三维空间中的有向闭合曲面 S，其通量可以表示为：Φ = ∫∫S F · dS其中，F 是一个向量场，dS 是曲面 S 上某一点处的面积元素。在本题中，向量场 F = (2y, 2x, 2z-5)，曲面 S 是平面 x-y+z=1 在第四卦限部分下侧得到的曲面。由于我们只需要计算下侧的曲面积分，因此可以将曲面 S 投影到 xy 平面上，得到该区域的边界为 x^2 + y^2 <= 1，z = 0。接下来，我们可以使用极坐标系来对该曲面进行参数化。设：x = r cosθy = r sinθz = 1 - x - y其中，r 从 0 到 1，θ 从 0 到 2π。计算该曲面积分可得：Φ = ∫∫S F · dS = ∫∫D F(x,y,z(x,y)) · (Fx,Fy,-1) · r dr dθ = ∫0^1∫0^2π (2rsinθ, 2rcosθ, 2(1-rsinθ-rcosθ)-5) · (-r cosθ, -r sinθ, 1) r dr dθ = ∫0^1∫0^2π (-2r^3 sinθ cosθ - 2r^3 sinθ cosθ + 2r(1-rsinθ-rcosθ)-5r) dr dθ = ∫0^1∫0^2π (2r-2r^2 sinθ cosθ - 5) dr dθ = 2π因此，该曲面积分的计算结果为 2π，正确答案为 A。