Question

在数1～50中有几个3

Answer 1

在数字 1~50 中，有 15 个数字的个位数为 3，分别是 3、13、23、33、43、53、63、73、83、93、23、33、43、53、63、73、83、93；有 5 个数字的十位数为 3，分别是 30、31、32、33、34。因此，数字 1~50 中有 20 个数字的十位或个位为 3。
在数字 1~50 中有 20 个数字的十位或个位为 3，但需要注意的是，对于两位数来说，如果十位和个位都为 3，那么这个数字只需要算一次，因此不能简单的将十位和个位的数字相加。同时，需要注意题目的语言，并没有要求包括数字 3，因此，20 个数字已经是最终答案。
可以将问题拓展到更大的数字范围内。对于任意 $n$ 位数中有多少个数字包含数字 $x$，其实可以分为两个部分考虑。
第一部分是所有以 $x$ 作为末位数字的数字，共有 $\frac{1}{10}n$ 个，因为一个 $n$ 位数字中末位可以填上 0~9 中的任意一个数字。例如，在所有 3 位数字中，以 3 作为末位数字的数字共有 100 个，即 300~399。
第二部分是将 $x$ 作为非末位数字的数字，需要分为两种情况讨论。
当 $n$ 为偶数时，以 $x$ 作为十位数字的数字和以 $x$ 作为个位数字的数字数目是相同的，分别为 $\frac{1}{10}\times \frac{1}{9}(n-1)$，因为在 $n$ 位数字中，第一个数字不能为 0，而两个数字中有两个位置可以填上 $x$，另外一个位置则可以填上 0~9 中除 $x$ 以外的任意一个数字。
当 $n$ 为奇数时，需要再将以 $x$ 作为中间数字的数字单独考虑。假设 $n=2m+1$，则以 $x$ 作为中间数字的数字有 $\frac{1}{10}$ 种可能，而以 $x$ 作为十位或个位数字的数字数目为 $\frac{1}{10}\times \frac{1}{9}\times 2m$。因此，共有 $(2m+1)\times \frac{1}{10} + \frac{2m}{90}=\frac{2m+11}{45}$ 个 $n$ 位数字包含数字 $x$。
综上所述，对于任意 $n$ 位数字中含数字 $x$ 的数字个数为 $\frac{2m+11}{45}$。