Question

如何构造一个非齐次线性方程组,使其基础解系恰好可以是给定的向量组

Answer 1

问：如何构造一个非齐次线性方程组,使其基础解系恰好可以是给定的向量组

答：要构造一个非齐次线性方程组，使其基础解系恰好可以是给定的向量组，可以按照以下步骤进行：将给定的向量组作为非齐次线性方程组的解向量，即将它们排列成矩阵形式，并将其作为非齐次线性方程组的系数矩阵的列向量。选择一个与给定向量组维数相同的向量作为非齐次项。构造非齐次线性方程组，将系数矩阵和非齐次项矩阵相乘，得到一个新的矩阵，作为非齐次线性方程组的增广矩阵。确认该非齐次线性方程组有唯一解，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且该非齐次线性方程组的解向量恰好是给定向量组。

问：最好举一个简单的例子可以吗

答：首先，我们需要选择一个线性无关的向量组，以确保它们可以成为基础解系。在这个例子中，{v1, v2} 是一个线性无关的向量组。然后，将这些向量作为系数矩阵的列向量，构造一个齐次线性方程组。系数矩阵为：| 1 0 || 0 1 || 1 1 |这个齐次方程组的解空间就是由 {v1, v2} 生成的向量空间。接下来，选择一个非零向量作为方程组的常数向量，构造一个非齐次线性方程组。假设我们选择常数向量 b = (1, 2, 3)。那么，我们可以构造非齐次方程组为：| 1 0 | x1 | 1 || 0 1 | x2 + | 2 || 1 1 | x3 | 3 |这个非齐次方程组的解空间应该是由 {v1, v2, v3} 生成的向量空间。最后，我们需要证明这个非齐次方程组的解空间正好是由 {v1, v2, v3} 生成的向量空间。这可以通过证明非齐次方程组的基础解系是 {v1, v2, v3} 本身的方法来实现。

问：好了吗

答：亲，上述回答中有为您列举出例子哦