Question

3.在ABC中,AB =2,D为AB的中点, CD=√2，若∠BAC =2∠BCD,求AC的长

Answer 1

问：3.在ABC中,AB =2,D为AB的中点, CD=√2，若∠BAC =2∠BCD,求AC的长

答：您好，根据您的问题描述：将图形画出来，连接AC和BD，如下图所示：因为D是AB的中点，所以AD=BD=AB/2=1。由勾股定理，得BC = √(1² + 1²) = √2设CB交AD的延长线于点E，连接CE，则∠BCE=∠AEC，因为∠CDB = 45°，∠BCD=∠ECD = 22.5°，所以∠BCE=2∠ECD=45°，所以CE = BC = √2。现在要求 AC 的长，由余弦定理cos ∠BAC = (BC² + AC² - AB²) / (2 × BC × AC)代入已知量， 得cos ∠BCD = cos (1/2 × ∠BAC) = cos (∠BCD) = (BC² + CD² - BD²) / (2 × BC × CD) = (√2 + 2 - 1) / (2 × √2 × 1)= (1 + √2) / 4代入余弦定理中，得(1 + 2AC² - 4) / (4√2 × AC) = (1 + √2) / 4化简得到AC² = 13 - 9√2因此，AC的长为√(13 - 9√2)。

答：√这个是根号

问：哪来的直角？

答：您好，根据您的问题描述：在ABC中，由题目可知CD=√2，而∠BAC = 2∠BCD，因此我们可以设∠BCD为x，则∠BAC=2x。根据正弦定理：sin(∠BAC)/AC = sin(∠ABC)/AB，代入已知量和上述角度关系，可得:sin(2x)/AC = sin(x)/2, 即sin(2x) = sin(x)/2根据倍角公式，我们可以将上述等式转化为：2sin(x)cos(x) = sin(x)/2，即 4cos(x) = 1因为C是直角三角形ABC的直角顶点，所以cos(x) = CD/AC = √2/AC。因此，我们可以得到：4cos(x) = 4(√2/AC) = 1，解得AC=4√2即为所求。

问：sin(∠BAC)/AC = sin(∠ABC)/AB？

答：您好，根据您的问题描述：这个等式是正弦定理的一种形式，其中∠BAC和∠ABC是三角形ABC两边与夹角的角度，AB、AC是相应的边长。该定理表明，对于任意一个三角形ABC，它的各个角的正弦值与对应边长的比例是相等的，即sin(∠BAC)/AC = sin(∠ABC)/AB = sin(∠ACB)/BC该定理可以用来计算三角形的边长和夹角。如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以通过正弦定理计算出第三边的长度，如AB/sin(∠ACB) = BC/sin(∠BAC) = AC/sin(∠ABC)如果已知三角形三个角度中的两个及其对应边的长度，可以用正弦定理求出第三角的角度，如sin(∠BAC)/AC = sin(∠ABC)/AB sin(∠BAC)/sin(∠ABC) = AC/AB因此，可以通过正弦定理计算三角形的各个参数。