(1+i)负一次方+(1+i)负二次方+……(1+i)负n次
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你好，针对你的问题，我们做出如下解答：
要求解的无穷级数为：
(1 + i)^(-1) + (1 + i) x^(-2) + … + (1 + i) x^(-n) + …
首先观察到，这是一个几何级数，因为每一项都是前一项乘以相同的公比。公比 r = (1 + i) x^(-1)
对于几何级数，如果公比的绝对值小于1（|r| < 1），那么级数将收敛到一个有限值。现在我们来计算这个几何级数的和。
根据几何级数的求和公式，我们有：sum = a / (1 - r)
其中 a 是首项 (1 + i)^(-1)，r 是公比 (1 + i) x^(-1)。
将这些值代入公式，我们得到：sum = (1 + i)^(-1) / (1 - ((1 + i) x^(-1)))
为了简化公式，我们需要消去表达式中的分母。为此，我们可以将分子和分母同时乘以共轭复数 (1 - i)。这样可以使分母成为实数。
sum = [(1 + i)^(-1) * (1 - i)] / [(1 - ((1 + i) x^(-1))) * (1 - i)]
咨询记录 · 回答于2024-01-09
(1+i)负一次方+(1+i)负二次方+……(1+i)负n次
### 解答
你好，对于这个无穷级数问题，我们首先要明确这是一个几何级数，其公比是(1 + i) x^(-1)。对于几何级数，如果公比的绝对值小于1（|r| < 1），那么级数将收敛到一个有限值。
现在我们来计算这个几何级数的和。根据几何级数的求和公式，我们有：
sum = a / (1 - r)
其中 a 是首项 (1 + i)^(-1)，r 是公比 (1 + i) x^(-1)。将这些值代入公式，我们得到：
sum = (1 + i)^(-1) / (1 - ((1 + i) x^(-1)))
为了简化公式，我们需要消去表达式中的分母。为此，我们可以将分子和分母同时乘以共轭复数 (1 - i)。这样可以使分母成为实数。经过简化，我们得到：
sum = [(1 + i)^(-1) * (1 - i)] / [(1 - ((1 + i) x^(-1))) * (1 - i)]
对分子进行乘法运算：
sum = [(1^2 - i^2) / (1 - i)] * (1 + i)^(-1) / [(1 - ((1 + i) x^(-1))) * (1 - i)]
简化分子的复数的平方项：
sum = (2 / (1 - i)) * (1 + i)^(-1) / [(1 - ((1 + i) x^(-1))) * (1 - i)]
对分子中的复数进行乘法运算，分母进行乘法运算：
sum = (2 / (1 - i)) * (1 + i)^(-1) / (1 - x^(-1) - i - ix^(-1)) * (1 - i)
再继续化简：
sum = (2 / (1 - i)) * (1 + i)^(-1) / (1 - x^(-1) - i - ix^(-1) + i - ix^(-1) + 1 - i^2)
由于 $i^2 = -1$：
sum = (2 / (1 - i)) * (1 + i)^(-1) / (1 - x^(-1) - i - i + i + 1 - (-1))
继续化简：sum = (2 / (1 - i)) * (1 + i)^(-1) / (2 - 2i - x^(-1))最终得到几何级数的和：sum = (1 + i)^(-1) / (1 - x^(-1) - i)
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