Question

在△ABC中，AB=10，AC=6，AD是BC边中线，AD=4，以BC为直径画半圆，求半圆的面积

Answer 1

解：如图，延长中线AD到G，使DG=AD=4，

则四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

∴BG=AC=6，

在△ABG中，BG=6，AG=8，AB=10，

∵6^2+8^2=10^2，

∴△ABG是直角三角形.

在直角△BDG中，DB容易求出得：2√13.

所以，所求的半圆的面积=1/2π×(2√13)^2=26π(平方单位)。

Answer 2

延长AD到E，使AD=DE，则容易证明四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形一个性质：
平行四边形两对角线平方和等于其两边长平方和的两倍
所以有AE²+BC²=2(AB²+AC²)，代入数值可求得BC²=2(10²+6²)-8²=208，所以面积为208π

此题应该是初中题目，用到平行四边形这个性质，在初中教材没有这个定理，本人尚未想到初中其他方法，有关这个性质证明，如果用三角形余弦定理，就很容易证明，这个定理初中不要求掌握，在此告知初中的同学，三角形的余弦定理：
任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
a² = b² + c² - 2·b·c·cosA ，b² = a² + c² - 2·a·c·cosA ，c² = a² + c² - 2·a·b·cosA ，
设平行四边形ABCD两对角线分别是AC，BD，则在△ABC中，有
AC²=AB²+BC²-2·AB·BCcos∠ABC，在△BCD中，也有
BD²=BC²+CD²-2·BC·CDcos∠BCD，注意有AB=CD，∠ABC+∠BCD=180°，所以
cos∠ABC+cos∠BCD=0，（根据cosθ=-cos(180°-θ)），所以两式相加，得
AC²+BD²=2(AB²+BC²)