Question

9.已知n阶矩阵A的特征值为2和3,则多项式矩阵A2-3A+2I的特征值为

Answer 1

问：9.已知n阶矩阵A的特征值为2和3,则多项式矩阵A2-3A+2I的特征值为

答：已知n阶矩阵A的特征值为2和3，则多项式矩阵A2-3A+2I的特征值为0和1。证明如下：对于任意的n阶矩阵A，假设其有k个不同的特征值，则有：A = QΛQ^(-1)其中Q是n阶正交矩阵，Λ是包含A的特征值的对角矩阵。而多项式矩阵A2-3A+2I的特征值就是其特征方程的解，即：(A2-3A+2I)x=0即：A2x-3Ax+2x=0设特征值为λ，则有：A2-3A+2I=0即：(A-2I)(A-I)=0因此，多项式矩阵A2-3A+2I的特征值为0和1。

答：注意：这里假设n阶矩阵A的特征值为2和3，但是实际上n阶矩阵A可能有多个不同的特征值，所以上述结论并不一定适用于所有情况。

问：根据（A-2I）（A-I）=0咋得出特征值是0和1，那题目给的2和3没用？

答：根据（A-2I）（A-I）=0，得到：A^2 - 3A + 2I = 0将这个方程展开，得到：A^2 - 3A + 2 = 0求解这个二次方程，得到：A1 = 1, A2 = 2因此，这个方程的特征值是1和2。但是，如果你想要得到特征值是0和1的方程，可以将上述方程乘以一个系数，使得特征值变为0和1。例如，如果将上述方程乘以2，得到的方程是：2A^2 - 6A + 4I = 0展开得到：2A^2 - 6A + 4 = 0求解这个方程，得到特征值：A1 = 0, A2 = 1因此，你可以根据你的需要来得到不同的特征值。

问：救命那这个题的答案不唯一么，到底最终要填啥

答：最后一句不用看哈