Question

B={1,2,3},R={<1,2><2,3>},求自反、对称及传递闭包

Answer 1

问：B={1,2,3},R={},求自反、对称及传递闭包

问：求（┐P→Q)∨R主析取范式，并判定类型

答：首先，我们需要了解三个概念的定义： 自反：对于集合B中的任意元素x，都有(x,x)属于R。 对称：对于集合B中的任意元素x和y，如果(x,y)属于R，则(y,x)也属于R。 传递：对于集合B中的任意元素x、y和z，如果(x,y)属于R并且(y,z)也属于R，则(x,z)也属于R。 然后，我们按照以下步骤来求解自反、对称和传递闭包： 自反闭包：在原关系R的基础上，添加所有(x,x)的元素，即{(1,1),(2,2),(3,3)}。 对称闭包：在自反闭包的基础上，对于每个(x,y)属于R，添加(y,x)的元素，即{(1,2),(2,3),(3,3),(2,1),(3,2)}。 传递闭包：在对称闭包的基础上，对于任意元素x、y和z，如果(x,y)属于闭包中的关系，并且(y,z)也属于闭包中的关系，那么就添加(x,z)的元素。 对于本题，可以通过反复应用以下规则来求解传递闭包： 如果R中存在(x,y)和(y,z)，那么添加(x,z)到闭包中。 对于闭包中的任意元素(x,y)和(y,z)，如果x和z不相等且不属于闭包中，则添加(x,z)到闭包中。 对B={1,2,3}和R={}进行上述操作得到的自反、对称和传递闭包分别为： 自反闭包：{(1,1),(2,2),(3,3)} 对称闭包：{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)} 传递闭包：{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3),(1,3),(3,1)} 因此，B={1,2,3}和R={}的自反、对称和传递闭包分别为{(1,1),(2,2),(3,3)}，{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}和{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3),(1,3),(3,1)}。

答：根据逻辑运算规则，将原命题化为主析取范式的过程如下： 1. (┐P→Q)∨R 2. = ┐(┐P→Q)→R （等价变形） 3. = ┐((┐┐P∨Q)→R) （条件运算规则） 4. = ┐((P∨Q)→R) （双重否定律） 5. = P∧┐R ∨ Q∧┐R （析取范式） 因此，(┐P→Q)∨R的主析取范式为P∧┐R ∨ Q∧┐R，类型为重言式（永真式）。

问：能不能麻烦您手写下 我想看下格式怎么写

答：首先，我们可以使用蕴含式的等价变换将原命题化简为：¬┐P∨Q∨R。 然后，我们可以将该命题转化为主合取范式（CNF），再将其转化为主析取范式（DNF）。这里给出主析取范式的求解过程： ¬┐P∨Q∨R (原命题) ≡ P∧(¬┐P∨Q∨R) ∨ ¬P∧(¬┐P∨Q∨R) (范式的定义) P∧(¬┐P∨Q∨R) ≡ P∧(P∧¬Q∨R) ≡ (P∧P)∧¬Q ∨ (P∧R) ≡ P∧¬Q ∨ P∧R ¬P∧(¬┐P∨Q∨R) ≡ ¬P∧(¬P∨Q∨R) ≡ (¬P∧¬P)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧R) ≡ ¬P∨(¬P∧Q)∨(¬P∧R) ≡ (¬P∨¬P∧Q∨¬P∧R) 因此，将原命题转化为主析取范式的结果为：(P∧¬Q) ∨ (P∧R) ∨ (¬P∨¬Q∨¬R)。 该范式为三个子句的析取，每个子句都是由一些命题变量或它们的否定构成的合取式。这是一个合法的命题范式，可以用于逻辑运算或推理。对于它的类型，它是一个命题逻辑中的命题范式，更具体地说，它是一个主析取范式。该范式用以下格式表示： (P ∧ ¬Q) ∨ (P ∧ R) ∨ (¬P ∨ ¬Q ∨ ¬R)

答：给定关系集 R={,}，其中 B={1,2,3}。 首先，我们来求解该关系的自反闭包： 自反闭包：对于任意 a∈B，如果 (a,a)" R，则将 (a,a) 加入到 R 中。 显然，R 已经包含了所有的有序对，因此 R 本身就是自反的，即 R^{\mathrm{refl}}=R。 接着，我们来求解该关系的对称闭包： 对称闭包：对于任意 (a,b)∈R，如果 (b,a)" R，则将 (b,a) 加入到 R中。 因为 R 只包含了有序对 和 ，而 和 不在 R 中，因此需要将这两个有序对加入到 R中。 于是，R^{\mathrm{sym}}={,,,}。 最后，我们来求解该关系的传递闭包： 传递闭包：对于任意 (a,b)∈R 和 (b,c)∈R，如果 (a,c)" R，则将 （a,c) 加入到 R 中。 因为 R 中已经包含了所有的有序对，因此 R本身就是传递的，即 R^{\mathrm{trans}}=R。 因此，该关系的自反闭包为 R，对称闭包为 {,,,}，传递闭包为 R。 用格式表示为： 自反闭包：R^{\mathrm{refl}} = {,} 对称闭包：R^{\mathrm{sym}} = {,,,} 传递闭包：R^{\mathrm{trans}} = {,}