Question

3.已知方程 y"-2y`+y=0 的一个特解为 y1=e^x, 求-|||-(1)另一个与y1线性无关的特解y2 ;-|||-(2)求出方程的通解;-|||-(3)用常数变易法求非齐次线性方程 y^n-2y`+y=e^x 的通解.

Answer 1

问：3.已知方程 y"-2y`+y=0 的一个特解为 y1=e^x, 求-|||-(1)另一个与y1线性无关的特解y2 ;-|||-(2)求出方程的通解;-|||-(3)用常数变易法求非齐次线性方程 y^n-2y`+y=e^x 的通解.

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下：(1) 我们可以采用常数变易法，假设另一个特解为 y2=Ae^x，代入原方程中得：y2" - 2y2' + y2 = Ae^x - 2Ae^x + Ae^x = -Ae^x

答：因此有 -Ae^x = 0，即 A = 0。所以，与 y1=e^x 线性无关的特解为 y2=e^x。(2) 方程 y"-2y`+y=0 的通解为 y=C1e^x+C2xe^x。其中，C1、C2 为任意常数。(3) 我们可以采用常数变易法，假设非齐次线性方程 y^n-2y`+y=e^x 的一个特解为 y=(Ae^x)/n，代入原方程中得：(Ae^x)/n^n - 2Ae^x/n^(n-1) + Ae^x = e^x整理后可得：A = n因此，一个特解为 y=(ne^x)/n = e^x。非齐次线性方程的通解为 y=C1e^x+C2xe^x+e^x，其中，C1、C2 为任意常数。