Question

已知关于x的方程2sin²(5/2π+x)-cos(x+π)-a=0无实数解,求实数a的取值范围

Answer 1

问：已知关于x的方程2sin²(5/2π+x)-cos(x+π)-a=0无实数解,求实数a的取值范围

问：可以快一点吗

答：实数 a 的取值范围为a -1/√2 或 a > 1/√2，或者 a ∈ (-1/√2, 0) 且解的个数为偶数个，或者 a ∈ (0, 1/√2) 且解的个数为奇数个。

问：过程呢

答：注意到该方程是三角方程，可以将它转化为一个只含有一个三角函数的方程。通过三角函数的和角公式：2sin²(5/2π+x)-cos(x+π)-a=0= 2sin²(π/2+x) + sin(x) - a= 2cos²(x) + sin(x) - a将sin(x)表示为cos(x)的函数，我们得到：= 1 + cos(2x) + sin(x) - a现在可以考虑关于x的三角方程：cos(2x) + sin(x) = a - 1

答：到对于任意实数a，都存在x使得cos(2x) + sin(x) = a - 1。因此，转化为讨论该方程的解的个数以及a的取值范围。可以将该方程表示为向量的形式：cos(2x) + sin(x) = (1, a-1)·(cos(θ), sin(θ))根据向量的点积公式，我们有：cos(2x) + sin(x) = ∥(1, a-1)∥·∥(cos(θ), sin(θ))∥·cos(θ-φ)其中，φ是向量(1, a-1)和(cos(θ), sin(θ))的夹角。

答：对于任意实数a，解的存在与否取决于∥(1, a-1)∥和cos(θ-φ)的乘积是否非负。如果∥(1, a-1)∥为0，则a=1，此时方程无解。否则，当∥(1, a-1)∥>1时，cos(θ-φ)可以取遍[-1, 1]之间的所有实数，此时方程有解。当∥(1, a-1)∥≤1时，cos(θ-φ)的取值范围为[-1, 1]，因此我们需要进一步讨论。当cos(θ-φ)=1时，我们有：cos(2x) + sin(x) = ∥(1, a-1）