Question

21.(12分)已知函数 f(x)=(x-1)ln(x-2)-a(x-3) , aR-|||-(1)若 a=1, 讨论f(x)

Answer 1

问：21.(12分)已知函数 f(x)=(x-1)ln(x-2)-a(x-3) , aR-|||-(1)若 a=1, 讨论f(x)

答：解：（Ⅰ）由已知， 恒成立令 ，则 ，﹣（2x+1）＜0，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴g（x）max=g（1）=2a﹣2∴由f'（x）≤0恒成立可得a≤1．即当f（x）在（0，+∞）上单调递减时，a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设0＜x1＜x2．由（Ⅰ）可知a＞1，且f′（x1）=lnx1﹣ ﹣2x1+1+2a①，f′（x2）=lnx2﹣ ﹣2x2+1+2a②，由①﹣②得： ∴ ∴ ，即 ，由①+②得： ，∴

问：21题整题

问：已知函数f(x)=(x-1)n(x-2)-a(x-3),aeR.(1)若a=1,讨论f(x)的单调性；(2)若当x>3时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

答：（1）求导得f′(x)，令f′(x)＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，分两种情况①≤0，②＞0，讨论f(x)单调性；（2）由题意得a＜0，画出草图，知0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，要证：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即证：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)，只需证：，先证：x3+x4＞2x1.即证x4＞2x1﹣x3，由（1）f(x)单调递减，只需证f(x4)＜f(2x1﹣x3)，即证：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，求导数，分析单调性，可得g(x)＜g(x1)＝0，故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)＜f(2x1﹣x3)得证，同理可以证明：x3+x4＜2x2，综上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得证.