Question

21.已知生产某产品的总收益函数为 R(x)=30x-3x^2 (元),总成本函数为 C(x)=x^2+2x+2 (元),由于国家要对这种产品征税,厂家要以税率t元/单位产量进行纳税,求在这种情况下获得最大利润的产量是多少?国家税收是多少?

Answer 1

问：21.已知生产某产品的总收益函数为 R(x)=30x-3x^2 (元),总成本函数为 C(x)=x^2+2x+2 (元),由于国家要对这种产品征税,厂家要以税率t元/单位产量进行纳税,求在这种情况下获得最大利润的产量是多少?国家税收是多少?

问：答案是28-t/8，1/8(28t-t^2)，求过程

答：该厂家的总利润函数为 $P(x) = R(x) - C(x)$，即：$$P(x) = 30x - 3x^2 - x^2 - 2x - 2 = -4x^2 + 28x - 2$$当厂家要以税率t元/单位产量进行纳税时，实际的利润为：$$\hat{P}(x) = P(x) - tx$$需要求在这种情况下获得最大利润的产量 $x$ 和国家的税收。首先，求出 $\hat{P}(x)$ 的最大值点。对 $\hat{P}(x)$ 求导，得到：$$\frac{d\hat{P}(x)}{dx} = -8x + 28 - t$$令其为零，解得最大值点 $x^* = \frac{28-t}{8}$。为了使 $\hat{P}(x)$ 真正达到最大值，需要验证 $x^*$ 是 $\hat{P}(x)$ 的极大值点。对 $\hat{P}(x)$ 求二阶导数，得到：$$\frac{d^2\hat{P}(x)}{dx^2} = -8

答：显然，$\frac{d^2\hat{P}(x)}{dx^2} < 0$，因此 $x^*$ 是 $\hat{P}(x)$ 的极大值点。将 $x^*$ 带入 $\hat{P}(x)$，得到在这种情况下的最大利润为：$$\hat{P}(x^*) = -4\left(\frac{28-t}{8}\right)^2 + 28\left(\frac{28-t}{8}\right) - 2 = 41 - \frac{t^2}{16}$$因此，最大利润为 $41 - \frac{t^2}{16}$ 元。国家的税收为生产产量 $x^*$ 乘以税率 $t$，即：$$\text{税收} = tx^* = t\cdot\frac{28-t}{8} = \frac{7}{8}t(28-t)$$因此，在这种情况下获得最大利润的产量为 $\frac{28-t}{8}$，最大利润为 $41 - \frac{t^2}{16}$ 元，国家税收为 $\frac{7}{8}t(28-t)$ 元。

问：$这个是什么看不懂

答：这个是求解在某种情况下，如何获得最大利润的问题。其中，给出了一个产品的总收益函数和总成本函数，并且国家要对这种产品征税，每生产一单位产品需要交纳$t$元的税。我们需要求出，在这种情况下，应该生产多少单位的产品，才能获得最大利润，以及此时国家的税收是多少。具体的求解过程已经在上面给出。

问：我在写高数数学题，我要写在作业本上，我看不懂你发的过程，能简便一点吗

答：好的，我来简单解释一下。根据题目，产品的总收益函数为$R(x)=30x-3x^2$，总成本函数为$C(x)=x^2+2x+2$，每生产一单位产品需要交纳$t$元的税。我们需要求出，在这种情况下，应该生产多少单位的产品，才能获得最大利润，以及此时国家的税收是多少。首先，我们需要求出利润函数$P(x)$。由题意，利润等于税后收益减去成本，即$P(x)=R(x)(1-t)-C(x)$。将$R(x)$和$C(x)$带入上式，化简得到：$P(x)=-3x^2(1-t)+28x-2-t$。接下来，我们需要对$P(x)$求导，令其等于0，求得极值点。即：$P'(x)=-6x(1-t)+28=0$。解得：$x=\frac{14}{3-3t}$。这个值就是能够获得最大利润的产量。同时，我们需要验证$x=\frac{14}{3-3t}$是$P(x)$的极大值点，而非极小值点。为此，我们需要计算$P''(x)$，如果$P''(x)<0$，则$x=\frac{14}{3-3t}$是$P(x)$的极大值点。计算得到：$P''(x)=-6(1-t)<0$，因此$x=\frac{14}{3-3t}$

答：由于系统原因一些符号并不能表达出来