Question

设函数f(x)=xe^x,讨论函数g(x)=f(x)-½a(x+1)平方的单调性a>0

Answer 1

问：设函数f(x)=xe^x,讨论函数g(x)=f(x)-½a(x+1)平方的单调性a>0

答：(1)求出 ′( )f′(x),由 ′( )⟩0f′(x)⟩0得出f(x)的单调递增区间； (2)求出 ′( )g′(x),对a进行分类讨论得出g(x)的单调区间即可. 解：(1)∵ ( )= ∵f(x)=xex, ∴ ′( )=( +1) ∴f′(x)=(x+1)ex, 令 ′( )⟩0f′(x)⟩0,得 ⟩−1x⟩−1, ∴ ( )∴f(x)在(−1,+∞)(−1,+∞)上为增函数； (2) ( )= ( )−12 ( +1)2= −12 ( +1)2g(x)=f(x)−21​a(x+1)2=xex−21​a(x+1)2, ∴ ′( )=( +1)( − )∴g′(x)=(x+1)(ex−a), 当 =0a=0时， ′( )⟩0g′(x)⟩0恒成立，g(x)在R上为增函数；当 ⟨0a⟨0时，令 ′( )=0g′(x)=0,得 =−1x=−1或 =ln⁡ x=lna, 且 ∈(−∞,−1)x∈(−∞,−1)时， ′( )⟩0g′(x)⟩0; ∈(−1,ln⁡ )x∈(−1,lna)时， ′( )⟨0g′(x)⟨0; ∈(ln⁡ ,+∞)x∈(lna,+∞)时， ′( )⟩0g′(x)⟩0, $\therefore 函数 ( )在函数g(x)在(-\infty ,-1)和和(\ln a,+\infty )上单调递增，在上单调递增，在(-1,\ln a)上单调递减；当上单调递减；当a\rangle 0时，令时，令g'(x)=0,得,得x=-1或或x=\ln a,且,且x\in(-\infty ,\ln a)时，时，g'(x)\langle 0;;x\in(\ln a,+\infty )时，时，g'(x)\rangle 0,,\therefore 函数 ( )在函数g(x)在(-\infty ,\ln a)上单调递减，在上单调递减，在(\ln a,+\infty )$上单调递增.