Question

计算 I={(x^2+y^2)ds, 其中L圆周线x^2+y^2=2x+2y

Answer 1

问：计算 I={(x^2+y^2)ds, 其中L圆周线x^2+y^2=2x+2y

问：这个

答：亲亲，非常荣幸为您解答计算 I={(x^2 y^2)ds, 其中L圆周线x^2 y^2=2x 2y；首先，我们需要确定参数方程来表示圆周线。我们可以将x和y表示为：x = cos(t)y = sin(t)这样，我们可以将L表示为：(x^2)(y^2) = 2xy(cos(t)^2)(sin(t)^2) = 2cos(t)sin(t)将sin(t)和cos(t)用t的正弦和余弦表示，我们得到：(cos^2(t))(sin^2(t)) = 2sin(t)cos(t)现在我们可以计算ds，使用下面的公式：ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dtdx/dt = -sin(t)dy/dt = cos(t)

答：相关拓展：因此，我们得到：ds = sqrt((-sin(t))^2 + (cos(t))^2) dtds = dt现在我们可以将I表示为：I = ∫(x^2)(y^2) ds = ∫(cos^2(t))(sin^2(t)) dsI = ∫(cos^2(t))(sin^2(t)) dt我们可以使用三角恒等式cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2和sin^2(t) = (1 - cos(2t))/2将其化简为：I = 1/4 ∫(1 - cos(2t))(1 + cos(2t)) dtI = 1/4 ∫(1 - cos^2(2t)) dtI = 1/4 ∫(sin^2(2t)) dtI = 1/4 ∫(1 - cos(4t))/2 dtI = 1/8 (t - (sin(4t))/4) + C在t = 0到t = 2π的范围内积分，我们得到：I = 1/8 (2π - 0 - 0 + 0) = π/4因此，I的值为π/4。