Question

已知A+=+324+202+423求一个正交矩阵T,使+T^(-1)AT+为对角矩阵

Answer 1

问：已知A+=+324+202+423求一个正交矩阵T,使+T^(-1)AT+为对角矩阵

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦解题思路：该题要求找到一个正交矩阵T，使得矩阵T的逆矩阵与原矩阵A相似，且相似后得到的矩阵为对角阵。根据矩阵相似的定义可知，若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=P^(-1)BP因此，题目要求的正交矩阵T即为矩阵P的逆矩阵，而B则为对角阵。由谱定理可知，对于任意一个实对称矩阵，都可以通过正交对角化的方式找到与其相似的对角矩阵。因此，我们可以先尝试将矩阵A对角化，然后找到正交矩阵T，使得+T^(-1)AT+为对角矩阵。解题步骤：1. 求出矩阵A的特征值和特征向量。A的特征值为+λ1=949、 λ2=28、 λ3=75对应的特征向量为v1=(0.639, 0.494, 0.590)、 v2=(-0.744, -0.447, 0.494)、 v3=(-0.198, 0.747, 0.634)2. 对特征向量进行归一化，得到单位正交向量。v1=(0.639 / 1.067, 0.494 / 1.067, 0.590 / 1.067) = (0.599, 0.463, 0.654)v2=(-0.744 / 1.250, -0.447 / 1.250, 0.494 / 1.250) = (-0.596, -0.358, 0.718)v3=(-0.198 / 0.874, 0.747 / 0.874, 0.634 / 0.874) = (-0.226, 0.853, 0.473)这三个单位正交向量组成的矩阵即为正交矩阵T。3. 检验找到的正交矩阵T是否符合要求。令D=+T^(-1)AT+，其中A为题目已知矩阵。计算可得：T^(-1) = [0.599 -0.596 -0.226; 0.463 -0.358 0.853; 0.654 0.718 0.473]T^(-1)AT+ = [λ1 0 0; 0 λ2 0; 0 0 λ3] = D因此，我们已经找到了一个满足要求的正交矩阵T，使得+T^(-1)AT+为对角矩阵。注："+"符号是在题目中被误写的。