Question

17.设二维随机变量(X,Y)服从区域 G={(x,y)|x^2+y^2≤1| 上的均匀分布,求:-|||-(1)(X,Y)的概率密度;(2)边缘概率密度fx(x)和f y(y);(3)判断X和Y是否相互独立;-|||-(4)条件概率密度fˣ|ʸ(x|y).

Answer 1

问：17.设二维随机变量(X,Y)服从区域 G={(x,y)|x^2+y^2≤1| 上的均匀分布,求:-|||-(1)(X,Y)的概率密度;(2)边缘概率密度fx(x)和f y(y);(3)判断X和Y是否相互独立;-|||-(4)条件概率密度fˣ|ʸ(x|y).

答：亲，您好~ .设二维随机变量(X,Y)服从区域 G={(x,y)|x^2+y^2≤1| 上的均匀分布， 求: -|||-(1) (X,Y)的概率密度的结果如下： 解：设(X,Y)服从区域G={(x,y)|x^2+y^2≤1| 上的均匀分布， 则其概率密度函数为： f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{\pi}, x^2+y^2≤1 \\ 0, x^2+y^2>1 \end{cases}

答：求边缘概率密度fx(x)和f y(y)如下：解：边缘概率密度fx(x)：由于X,Y服从均匀分布，则f(x,y)=1/S，其中S为区域G的面积，即S=π，则fx(x)=∫f(x,y)dy=∫1/πdy=1/π边缘概率密度fy(y)：同理，fy(y)=1/π

答：判断X和Y是否相互独立结果如下：X和Y不相互独立，因为X和Y之间存在联系，即X^2+Y^2≤1，当X或Y变化时，另一个变量也会受到影响。

答：求条件概率密度 $f_{X|Y}(x|y)$ 的结果如下： 解：$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)} = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{2\pi y}$ 由于 $X, Y$ 服从均匀分布，$f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\pi}$ 所以 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{1}{2\pi y}$

问：第一小问可以重新说一下吗？看不懂，好像都是乱码，过程可以详细一点吗？手写的也没有关系

答：函数为f(x,y)=f(x,y)=\frac{1}{\pi},x^2+y^2\leq1;f(x,y)=0,x^2+y^2>1

答：有的符号发不出来