Question

求经过点（1，2）且任意点的切线斜率为2X的曲线方程

Answer 1

问：求经过点（1，2）且任意点的切线斜率为2X的曲线方程

答：根据题目要求，任意点的切线斜率为2x。曲线上任意一点(x, y)处的切线斜率应该等于2x。根据导数的定义，我们可以得到： f'(x) = 2x现在我们需要对 f'(x) 进行积分来得到 f(x)。由于 f'(x) 是 2x 的积分，我们可以得到： f(x) = ∫(2x)dx = x^2 + C其中C是常数。为了确定常数C，我们利用已知条件（1，2）在曲线上。将 x=1 和 y=2 代入 f(x)，我们可以解出 C 的值： 2 = 1^2 + C C = 1因此，曲线方程为： f(x) = x^2 + 1所以经过点（1，2）且任意点的切线斜率为2x的曲线方程是 y = x^2 + 1。

问：设曲线上任意一点M（X，Y）处切线斜率等于-（1+y/x）且通过点（2，1）求此曲线方程。

答：设曲线的方程为 y = f(x)。任意一点 M(x, y) 处切线的斜率为 -（1 + y/x）

答：首先求出 f'(x)，即曲线的导数。由题意可知，切线斜率等于导数。因此，我们有：f'(x) = -（1 + y/x）现在我们需要求解 f(x) 的表达式。将 f'(x) 求积分得到 f(x)：∫f'(x) dx = ∫-（1 + y/x） dx对左边进行积分得到：f(x) = -x - y ln|x| + C其中 C 是常数。

答：根据已知条件，通过点 (2, 1)，我们可以将 x 和 y 的值代入上述方程来确定常数 C。1 = -(2) - 1 ln|2| + C 1 = -2 - ln(2) + C整理得到：C = 3 + ln(2)因此，曲线的方程为：f(x) = -x - y ln|x| + 3 + ln(2)

问：求微分方程xydx+（x2+1）dy=0的通解

答：你还有几道题呢

答：将方程重写为标准形式： xydx + (x^2 + 1)dy = 0将 xydx 移至右侧，得到： (x^2 + 1)dy = -xydx接下来，我们可以对方程两边同时进行积分： ∫(x^2 + 1)dy = -∫xydx对左侧进行积分，得到： y(x) = -∫xydx + C现在，我们需要计算右侧的积分。对于 ∫xydx，我们可以使用部分积分法进行求解。令 u = x, dv = ydx，则 du = dx, v = ∫ydx。将 u 和 v 的值代入部分积分公式，得到： ∫xydx = uv - ∫vdu ∫xydx = xy - ∫ydx将其代入原方程中的通解表达式中： y(x) = -(xy - ∫ydx) + C y(x) = -xy + ∫ydx + C

问：设f（x）的一个原函数e^x，式求∫f'（x）/1+f^2（x）dx

答：题目的完整性无误吗

问：无误

答：设u = f(x)，则du = f'(x)dx。将其代入到原式中，得到∫du/(1+u^2)。

答：根据反正切函数的形式。∫du/(1+u^2) = arctan(u) + C

答：将原变量代回，得到∫f'(x)/(1+f^2(x))dx = arctan(f(x)) + C，其中C为常数。