Question

dx/[(a-x)²(c-x)]的不定积分

Answer 1

问：dx/[(a-x)²(c-x)]的不定积分

答：您好，dx/[(a-x)²(c-x)]的不定积分设t=(a-x),则dt=-dx。原不定积分等于∫(-1/t²)*dt=1/t+C=1/(a-x)+C,其中C为常数。在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

问：(c-x)项呢？

问：直接当看不见么?

答：亲，老师这重新给您算了一遍，我们将分母进行分解：\((a-x)^2(c-x)=a^2c-2ax+x^2(a+c)\)接下来，我们令\(\frac{A}{a-x}\)为其中一个部分的分式，\(\frac{B}{c-x}\)为另一个部分的分式。根据部分分式分解的原理，我们可以得到：\(\frac{dx}{(a-x)^2(c-x)}=\frac{A}{a-x}+\frac{B}{c-x}\)令\(x=a\)，则有：\(\frac{A}{a-a}+\frac{B}{c-a}=\frac{1}{a-c}\)令\(x=c\)，则有：\(\frac{A}{a-c}+\frac{B}{c-c}=\frac{1}{c-a}\)将上述两个等式整理可以得到：\(A=\frac{1}{(c-a)(a-c)}=\frac{1}{a-c}\)\(B=\frac{1}{(a-c)(c-a)}=\frac{1}{c-a}\)因此，原始的不定积分可以化简为：\(\int{\frac{dx}{(a-x)^2(c-x)}}=\int{\frac{1}{a-c}\cdot\frac{1}{a-x}+\frac{1}{c-a}\cdot\frac{1}{c-x}}dx\)\(=\frac{1}{a-c}\int{\frac{1}{a-x}dx}+\frac{1}{c-a}\int{\frac{1}{c-x}dx}\)\(=\frac{1}{a-c}(\ln|a-x|)+\frac{1}{c-a}(\ln|c-x|)+C\)其中，C为常数项。

答：亲，您这边是在做题吗？

问：看不懂啊，这是个啥，有些我看不懂，哈哈哈

答：亲，这是计算方式呢~

问：方便写在草稿纸上么?里面有些专业的字符看不太懂

答：亲，老师这边给您换种方式您可以看的清楚：首先将分母分解为两个因式的乘积：(a-x)²(c-x) = [(a-x)(c-x)]然后，将该不定积分表示为分式的和的形式：dx/[(a-x)²(c-x)] = A/(a-x) + B/(c-x)要确定A和B的值，将等式两边取公共分母，然后将分子相加：1 = A(c-x) + B(a-x)接下来，我们需要找到A和B的值使得等式对所有x成立。由于等式两边分别为1，我们可以选择合适的x值来解这个方程。让x = a，然后解方程：1 = A(c-a)A = 1/(c-a)然后，让x = c，再次解方程：1 = B(a-c)B = -1/(a-c)现在我们可以将A和B的值代入原始方程，得到：dx/[(a-x)²(c-x)] = 1/(c-a)/(a-x) - 1/(a-c)/(c-x)这样，我们得到了原始函数的分解。最后，我们可以对每个部分分别进行求积分，并相加得到不定积分的结果：∫ dx/[(a-x)²(c-x)] = ∫ 1/(c-a)/(a-x) - 1/(a-c)/(c-x) dx= (1/(c-a)) * ∫ 1/(a-x) dx - (1/(a-c)) * ∫ 1/(c-x) dx= (1/(c-a)) * (-ln|a-x|) - (1/(a-c)) * (-ln|c-x|) + C其中C为常数，ln表示自然对数。综上所述，不定积分为：∫ dx/[(a-x)²(c-x)] = (1/(c-a)) * (-ln|a-x|) - (1/(a-c)) * (-ln|c-x|) + C