Question

如图①，已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求

如图①，已知抛物线y=ax 2 +bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

（1）由题知： a+b+3=0 9a-3b+3=0 解得： a=-1 b=-2 ∴所求抛物线解析式为： y=-x 2 -2x+3； （2）∵抛物线解析式为： y=-x 2 -2x+3， ∴其对称轴为x= -2 2 =-1， ∴设P点坐标为（-1，a），当x=0时，y=3， ∴C（0，3），M（-1，0） ∴当CP=PM时，（-1） 2 +（3-a） 2 =a 2 ，解得a= 5 3 ， ∴P点坐标为：P 1 （-1， 5 3 ）； ∴当CM=PM时，（-1） 2 +3 2 =a 2 ，解得a=± 10 ， ∴P点坐标为：P 2 （-1， 10 ）或P 3 （-1，- 10 ）； ∴当CM=CP时，由勾股定理得：（-1） 2 +3 2 =（-1） 2 +（3-a） 2 ，解得a=6， ∴P点坐标为：P 4 （-1，6） 综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（-1， 10 ）或P（-1，- 10 ） 或P（-1，6）或P（-1， 5 3 ）； （3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a 2 -2a+3）（-3＜a＜0） ∴EF=-a 2 -2a+3，BF=a+3，OF=-a ∴S 四边形BOCE = 1 2 BF?EF+ 1 2 （OC+EF）?OF = 1 2 （a+3）?（-a 2 -2a+3）+ 1 2 （-a 2 -2a+6）?（-a） = - 3 2 a 2 - 9 2 a+ 9 2 =- 3 2 (a+ 3 2 ) 2 + 63 8 ∴当a=- 3 2 时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 63 8 ． 此时，点E坐标为（- 3 2 ， 15 4 ）．